上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知,，若角与的终边相同，则____________【答案】【解析】【分析】利用终边相同的角的特点可知，再将其化为弧度制的角得到结果.【详解】与的终边相同本题正确结果：【点睛】本题考查终边相同的角的问题，弧度制与角度制的互化，属于基础题.2.已知函数的最小正周期为，则____________【答案】【解析】【分析】根据正切型函数最小正周期为构造方程求得结果.【详解】的最小正周期本题正确结果：【点睛】本题考查的最小正周期问题，属于基础题.3.一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是____________弧度【答案】【解析】【分析】根据扇形弧长公式表示出扇形的周长，从而建立起方程，求解得到圆心角.【详解】设扇形的圆心角为：则扇形的周长本题正确结果：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用问题，属于基础题.4.已知是第三象限的角，则的符号是____________号（填正或负）【答案】负【解析】【分析】根据角的范围可得和的范围，进而可确定和的符号，从而得到结果.【详解】为第三象限角，；本题正确结果：负【点睛】本题考查三角函数在各个象限内的符号问题，属于基础题.5.角终边上有点，且，则____________【答案】【解析】【分析】根据构造方程，求出，根据的定义求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数的定义问题，属于基础题.6.若，则____________【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式可得，进而得到，代入得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查函数解析式的求解以及利用解析式求解函数值的问题，关键是能够通过二倍角公式构造出关于的形式，根据整体法得到函数解析式.7.已知函数，且是其单调区间，则的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】根据的范围得到的范围；根据函数单调可知，解不等式得到结果.【详解】当时，，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用的单调性求解参数范围的问题，关键是能够通过的范围得到整体所处的范围，放入的单调区间中构造不等式.8.已知，，____________【答案】【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式可求得，再根据角的范围求得，利用两角和差公式求解得到结果.【详解】即：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数中诱导公式、二倍角公式、两角和差公式的应用以及同角三角函数的求解问题，关键是能够通过配凑角的方式通过已知角将所求角表示出来，从而利用公式求解得到结果.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】问题为三角形有两个解，根据画圆法可确定，从而得到所求范围.【详解】由题意可知三角形有两个解由上图可知：若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点则，即【点睛】本题考查三角形解的个数的问题，关键是能够将问题转化为与之间的大小关系的比较.10.函数的值域____________【答案】【解析】【分析】首先确定定义域，根据二倍角公式将整理为，从而根据定义域可知，进而得到函数值域.【详解】定义域为：当时，值域为本题正确结果：【点睛】本题考查正切函数值域的求解问题，忽略原函数的定义域是本题的易错点.11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为____________米【答案】【解析】【分析】根据余弦定理构造出，利用换元法可将右侧式子凑成符合基本不等式的形式，根据基本不等式求得最小值.【详解】设，则由余弦定理得令，则当且仅当，即时，即时，取得最小值本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，关键是能够通过余弦定理将所求长度化为关于变量的和的形式，根据基本不等式求解出和的最小值.12.设是定义在上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】将问题转化为与的图象在区间之间有个交点的问题，根据解析式和周期画出函数图象，通过数形结合得到结果.【详解】由题意可转化为与的图象在区间之间有个交点由解析式及周期，可得函数的图象如下图：若与在有个交点，则位置如图所示数形结合可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数区间内的零点个数求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，从而通过数形结合的方式求得结果.二、选择题13.在中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】试题分析：中，若，则或，反之，若，则一定有，所以在中，“”是“”的必要非充分条件，故选B．考点：1、已知三角函数求角；2、充分条件与必要条件.14.设函数的图象为，下面结论中正确的是A.函数的最小正周期是B.图象关于点对称C.图象可由函数的图象向右平移个单位得到D.函数在区间上是增函数【答案】B【解析】【分析】根据的周期计算公式，对称中心，单调区间及图形变换规律依次判断即可。【详解】函数的最小正周期为，故A错误；∵，∴图象关于点对称，故B正确；易知图象可由函数的图象向右平移个单位得到，故C错误；易得函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减，故D错误.故选B.【点睛】本题考查的相关性质，关键要对此部分知识加强记忆，深刻理解其处理思想和方法，此类问题是各类考试的热点，应给予足够的重视。15.设函数，其中，若、、是的三条边长，则下列结论：①对于一切都有；②存在使、、不能构成一个三角形的三边长；③为钝角三角形，存在，使，其中正确的个数为______个A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据函数单调性可知，根据三角形三边关系可知，可推导出，从而可得，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知，可得，再结合，可知，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.【详解】①令在上单调递减在上单调递减当时，根据三角形三边关系可知：又时，都有，可知①正确；②取，，，则，不满足三角形三边关系，可知②正确；③为钝角三角形，从而又，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题，其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题，关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.16.若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项.【详解】设，则即为奇函数令则，可知的对称中心为将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象的对称中心为当时，，不合题意，可知不可能为又当时分别对应选项，可知均为的对称中心本题正确选项：【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题.三、解答题17.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1【解析】【分析】（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值.【详解】（1）由得：的单调增区间为（2）当时，当时，当时，的最大值为，最小值为【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.18.在中，已知，外接圆半径.（1）求角的大小；（2）试求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到关于的方程，解出，进而得到；（2）根据正弦定理求得，根据余弦定理，结合基本不等式可得，代入三角形面积公式求得面积的最大值.【详解】（1）由得：即解得：或（舍）（2）由正弦定理得：由余弦定理得当且仅当时，取得最大值，即面积的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.19.已知函数的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像向左平移个单位后，得到的函数是奇函数，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据最值确定振幅；再根据两对称轴之间距离为求得；代入求得；根据图象否掉的情况，从而得到结果；（2）根据图象平移得到解析式，利用求得；通过验证可知满足题意，从而确定结果.【详解】（1）由题意，，即，即或当时，函数在时先取得最小值，后取得最小值，不符合图象函数的解析式为（2）由题意得：，是奇函数又当时，满足，即为奇函数，可知满足题意【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、利用图象平移和函数性质求解参数的问题.本题的易错点为利用特殊值求解初相时，忽略图象最值取得的位置，从而无法舍去增根.20.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.（1）用表示线段；（2）设，，求关于的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】（1），（2），（3）时，取得最大值【解析】【分析】（1）根据构造出与的关系，整理得到结果；（2）由（1）可得，整理化简可得结果；（3）利用将表示成，；利用换元法，可将问题转化为，根据的范围和的单调性求得最值和的取值.【详解】（1）由题意可得：，（2）由（1）得：两边平方并化简得：又，（3），令则又在上单调递增当，即时，取得最大值【点睛】本题考查利用三角函数的实际应用问题，重点考查了面积的最值求解问题，关键是能够将所求面积表示成与三角函数有关的函数关系式，从而通过换元的方式结合函数的单调性求得结果；易错点是忽略了换元后参数的取值范围.21.已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）将整理为，可知在上单调递增；可知，从而可将化简为，从而可知，得到结论；（2）取，根据，可得，从而可取得到结论；（3）取一个划分：，可将整理为；根据放缩可知只要足够大，可使得，从而得到结论.【详解】（1）当时，在区间上为单调递增函数当，时，有，所以从而对区间的任意划分：存在，使得成立综上，函数在上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取从而对区间的任意划分：和式成立则可取所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”（3）取区间的一个划分：，则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足所以函数不是的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.