上海市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

上海市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.过点(2,3)P，且一个法向量为(3,1)nr的直线的点法向式方程是________.【答案】3(2)(3)0xy【解析】【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点(,)xy,则所求直线的方向向量为(2,3)xy,再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,(3,1)(2,3)0xy,即3(2)(3)0xy.故答案为:3(2)(3)0xy.【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.2.三角形ABC的重心为G，242,1,3,4,,33ABG，则顶点C的坐标为____________．【答案】1,1【解析】【分析】利用三角形的重心坐标123123,33xxxyyyG，可求得顶点C的坐标.【详解】设顶点C的坐标为,xy，由三角形ABC的重心坐标得：223,33414,33xy解得：1,1,xy故填：1,1.【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使运算的速度更快.3.已知矩阵A=1234，矩阵B=4231，计算：AB=．【答案】1042410【解析】试题分析：AB=12344231=1042410。考点：矩阵的乘法运算。点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。4.点(1,2)P到直线:30lxyc的距离为10，则c________.【答案】9或11【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离,再根据已知距离列等式可解得.【详解】由点到直线的距离公式可得点(1,2)P到直线:30lxyc的距离为,22|3(1)2|31cd|1|10c,依题意可得|1|1010c,化简得,|1|10c,所以110c或110c,解得11c或9c.故答案为9或11.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.5.设,xyR满足约束条件10xyyxy，则2zxy最大值为________.【答案】2【解析】【分析】作出可行域后,将目标函数化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得.【详解】作出可行域如图阴影部分:将目标函数2zxy化为斜截式可得,2yxz,即求直线2yxz的纵截距最大值,比较直线2yxz与直线1xy的斜率可知,21,由图可知,最优解为点(1,0),将最优解的坐标带入目标函数可得z的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题.6.已知点(1,3)A，(4,1)B，则与向量AB方向相同的单位向量的坐标为____________.【答案】34(,)55【解析】∵点1,3A，4,1B，∴3,4AB，可得223(4)5AB，因此，与向量AB同方向的单位向量为：1343,4,555ABeAB故答案为：34,557.已知kR，则“5k”是“直线1:(3)(4)10lkxky与直线2:2(3)230lkxy平行”的________.条件【答案】充分不必要【解析】【分析】当5k时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说明是充分条件,而两直线平行时,也能推出3k,所以不是必要条件,由此可得.【详解】因为5k时,直线1:210lxy,直线2:4230lxy,即1:21lyx,斜率12k,纵截距11b;23:22lyx,斜率22k,纵截距232b,因为12kk,12bb,所以12ll//,即“5k”能够推出“直线1:(3)(4)10lkxky与直线2:2(3)230lkxy平行,因为3k时,1:1ly,23:2ly,此时也有12ll//,所以由12ll//可能推出3k,不一定推出5k,所以“5k”是“直线1:(3)(4)10lkxky与直线2:2(3)230lkxy平行”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉30k这种情况,属于基础题.8.三阶行列式3518278724中，元素8的代数余子式的值为________.【答案】29【解析】【分析】元素的代数余子式的定义计算可得.【详解】根据代数余子式的定义可得元素8的代数余子式的值为:2335(1)72(3257)29.故答案为:29.【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代数余子式的定义求值.属于基础题.9.已知向量(1,2)a，(3,4)b，则向量a在向量b上的投影为________.【答案】1【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.【详解】由定义可得向量a在向量b上的投影为||cos,||abaabb22132(4)3(4)1.故答案为:1.【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,10.在ABC中，||5AB，||10BC，3B，则||ABBCuuuruuur________.【答案】53【解析】【分析】先根据3B,得到2,3ABBC,然后将||ABBC平方开方,利用向量的数量积计算可得.【详解】在三角形ABC中,因为3B,所以2,3ABBC,所以||ABBCuuuruuur222()2ABBCABBCABBC222||||2||||cos3ABBCABBC221510251027553.故答案为53.【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角.11.已知点2,3,5,2AB，若直线l过点1,6P，且与线段AB相交，则该直线l的斜率的取值范围是___________【答案】(--1][1,)，【解析】【分析】利用直线的斜率公式分别计算出直线,PAPB的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：要使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足PAkk或PBkk，63621,1121(5)PAPBkk，1k或1k³，则直线l斜率的取值范围是(--1][1,)，．故答案为：(--1][1,)，【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础．12.已知A、B、C是直线AB上的不同的三个点，点O不在直线AB上，则关于x的方程20xOAxOBACuuruuuruuurr的解集为________.【答案】【解析】【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得ABAC,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.【详解】因为A、B、C是直线AB上的不同的三个点,所以AB与AC共线,根据共线向量定理可得,存在实数R,使得ABAC,因为0AB,所以0,所以OBOAAC,所以11ACOAOB,又由已知得2ACxOAxOB,根据平面向量基本定理可得,21x且1x,消去得2xx且0x,解得1x,1,当1时,ABAC,此时B与C两点重合,不符合题意,故舍去,故于x的方程20xOAxOBACuuruuuruuurr的解集为,故答案为:.【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.二.选择题13.设2111()1111fxxx，xR，则方程()0fx的解集为（）A.{1}B.{}1C.{1,1}D.以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得.【详解】因为2221111111()11111111111xxfxxxxx221(1111)1(11)1(11)xxxx222xxxx222x,由()0fx,得2220x,即21x,所以1x或1x.所以方程()0fx的解集为{1,1}.故选C.【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.14.如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程0(),fxy的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A.曲线C是方程0(),fxy的曲线B.方程0(),fxy的每一组解对应的点都在曲线C上C.不满足方程0(),fxy的点(,)xy不在曲线C上D.方程0(),fxy是曲线C的方程【答案】C【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),fxy的解为坐标的点是否都在曲线C上,故方程0(),fxy的曲线不一定是C,所以曲线C是方程0(),fxy的曲线不正确;方程0(),fxy的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确;不能推出曲线C是方程0(),fxy的轨迹,从而得到A,B,D均不正确,不满足方程0(),fxy的点(,)xy不在曲线C上是正确的.故选C.15.已知直线1l：-10axy，2l：10,xayaR，和两点A（0,1），B（-1,0），给出如下结论：①不论a为何值时，1l与2l都互相垂直；②当a变化时，1l与2l分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；③不论a为何值时，1l与2l都关于直线0xy对称；④如果1l与2l交于点M，则MAMB的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4.【答案】C【解析】对于①，当0a时，两条直线分别化为:1,1yx，此时两条直线互相垂直，当0a时，两条直线斜率分别为:1,aa,满足11aa,此时两条直线互相垂直，因此不论a为何值时，1l与2l都互相垂直，故①正确；对于②，当a变化时，代入验证可得:1l与2l分别经过定点0,1A和1,0B，故②正确；对于③，由①可知:两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线0xy上，因此1l与2l关于直线0xy不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l与2l交于点M，由③可知:222MAMB，则22?MAMB，所以·MAMB的最大值是1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C16.已知两个不相等的非零向量a与b，两组向量1xur，2xuur，3xur，4xuur，5xur和1yur，2yuur，3yuur，4yuur，5yuur均有2个a和3个b按照某种顺序排成一列所构成，记112233sxyxyxy4455xyxy，且mins表示s所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若ab，则mins与||a无关；③若a∥b，则mins与||b无关；④若||4||barr，则min0s；⑤若||2||barr，且2min8||sar，则a与b的夹角为4；正确的结论的序号是（）A.①②④B.②④C.②③D.①⑤【答案】B【解析】【分析】按照S中ab的对数分3种情况,求出S的值:123,,SSS共3个值,故①不正确;作差比较可得3S最小,再逐个分析②③④⑤可得.【详解】当有零对ab时,2212||3|