上海市曹杨二中2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

上海市曹杨二中2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题：1.在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面。【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题。2.两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．3.若正方体中，异面直线和所成角的大小为_____；【答案】【解析】【分析】根据题意，，，所以平面，根据面面垂直的性质定理可得，即可求和所成的角。【详解】如图，连接，因为正方体，所以,又正方形ABCD，所以，所以平面，所以，即和成角为【点睛】本题考查线线垂直的判定及性质定理，考查学生的空间想象能力，属基础题。4.若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；【答案】【解析】【分析】根据题意得圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，根据几何性质即可求解。【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由题意知，圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，所以，即。所以侧面积。【点睛】本题考查圆柱的几何性质，表面积的求法，属基础题5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；【答案】【解析】【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解。【详解】如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为。【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题6.若增广矩阵对应的线性方程组为无穷多解，则实数的值为________；【答案】【解析】【分析】将原方程组写成Ax=b，其中A为方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量，当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解，由此求得a的值。【详解】因为系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解所以行列式D=0，即=0所以。【点睛】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，属基础题。7.有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，为公比的等比数列，设它们的体积依次为，则=__________；【答案】【解析】【分析】由题意得，棱长满足，体积，结合等比数列的求和公式即可求解。【详解】由题意可得，正方体的棱长满足的通项公式记为，则。所以体积，是以1为首项，为公比的等比数列。则，故答案为。【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，考查学生分析推理，计算化简的能力，考查了极限思想和数形结合思想，属中档题。8.已知，用斜二测画法作它的直观图，若是斜边平行于铀的等腰直角三角形，则是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法，，直接判断的形状。【详解】如图所示，且，，将还原可得，所以，所以为直角三角形。【点睛】本题考查斜二测画法中直观图的还原，属基础题。9.在北纬45°圈上有甲.乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________；【答案】【解析】【分析】根据题意求出AB两点间的距离，可得，即球心角为，由弧长公式可得甲乙两地的球面距离为，即可得结果。【详解】设在北纬45°的纬线圈的圆心为C，球心为O，连接OA、OB、OC、AC、BC，则平面，在中，，同理。因为A、B两地经度差为，所以，在中，，由此可得是边长为R的等边三角形，即，所以A、B两地的球面距离为，所以甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为。【点睛】本题由实际问题入手，考查球面距离问题，关键是求球心O与A、B两点连线的夹角的大小，可利用纬线长，纬度，两点所在的经度计算AB的长度，再根据几何性质进行求解，得到的大小，结合弧长公式，即可求解，属中档题。10.如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；【答案】2【解析】【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的面对角线长为、、，利用勾股定理列出方程组，求出a，b，c的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积。【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a，b，c，则，解得，所以四面体的体积，故答案为2.【点睛】本题运用类比的方法，考查锥体的体积求法，考查学生逻辑推理，计算化简的能力，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属基础题。11.已知平面截一球面得圆，过圆心且与平面呈45°二面角的平面截该球面得圆，若球的半径为4，圆的面积为12，则圆的面积为__________；【答案】14【解析】【分析】由圆M的面积可得圆M的半径，通过勾股定理，可得O到圆M的距离，由题意得，可得ON长，即可求出圆N的半径，代入公式，可得结果。【详解】由题意知，圆M的面积为，所以圆M的半径为，又因为球的半径为4，所以球心O到圆M的距离=，所以，所以圆N的半径为所以圆N的面积，故答案为。【点睛】本题考查球内点、线、面的位置关系，难点在于找到OM与ON之间的关系，考查学生空间想象，分析计算能力，属基础题12.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，如顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离为___________；【答案】【解析】【分析】连接BC，CD，BD，则四面体为直角四面体，即已知直角四面体的三个顶点A，B，C到平面的距离分别为0，1，，求D点到平面的距离，结合几何性质，即可进行求解。【详解】如图，连接BC，CD，BD，则四面体为直角四面体，做平面的法线AH，再做平面于，平面于，平面于，连接，，，设AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，由等体积可得，，所以，令,,，可得，设，因为，，所以，所以，即点D到平面的距离为。【点睛】本题中正方体的位置特殊，难以下手，突破点在于正方体的8个顶点中，有关系的只有4个，这4个点组成直角四面体，再进行求解。本题考查锥体体积的求法，考查分析、推理、化简、计算、空间想象的能力，属中档题。二.选择题13.“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：由直线垂直于的边，可得，反之不成立考点：线面垂直的判定与性质14.如果三棱锥的底面不是等边三角形，两组对棱互相垂直，且顶点在底面的射影在内，那么是的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】C【解析】【分析】由题意知，，根据线面垂直的判定定理可得平面，即，即为AB边上的高，同理可得AH为BC边上的高，即可得答案。【详解】如图所示，两组对棱互相垂直，不妨设，，连接CO，并延长，交AB于M，连接AO，并延长，交BC于H。因为O为S在底面的射影，所以平面ABC，所以，，所以平面，所以，即为AB边上的高，同理，AH为BC边上的高，所以O为两高线的交点，即O为的垂心，故选C【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理，考查学生空间想象能力，属基础题。15.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A.一定是正三棱锥B.一定是正四面体C.不是斜三棱锥D.可能是斜三棱锥【答案】D【解析】【分析】侧面是等腰三角形，可能是底面边长和一条侧棱相等，分析选项，即可得结果。【详解】底面是正三角形，且每个侧面都是等腰三角形的三棱锥中，有可能是底面边长和一条侧棱相等，所以该棱锥可能是斜三棱锥，故选D。【点睛】本题考查三棱锥的概念，解题时要认真审题，熟练掌握三棱锥的结构特征，属基础题。16.在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为（）A.0B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析】建立空间坐标系，通过分类讨论，利用向量法求异面直线所成的夹角，即可找出满足条件的点P的个数。【详解】如图建立坐标系，不妨设棱长，则，，①在中，，因此。同理,,与成角都为。故当P位于棱,,上时，与所成角都为，故不满足条件。②当点P位于棱AD上时，设，，则，，若，满足于所成角为，则，即，无正数解（舍），同理当P位于上时，也不符合题意。③当P位于棱上时，设，则，，若满足于所成角为，则，即，因为，所以，满足条件，此时。④同理可求得棱上一点，棱上一点也满足题意，其它棱上没有满足条件的点P。综上，满足条件的P点共有3个，故选B【点睛】本题考查线线角的求法，即求两条直线方向向量夹角，通过推理分析，即可求解，计算难度较大，属中档题。三.解答题：17.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由等体积法可得，因为，又平面，代入公式即可求解。（2）因为，所以异面直线与所成角即为直线与直线所成角，即，根据条件，可求、、的长，结合三角函数即可求解。【详解】解：（1）因为，，并且平面，所以（2）因为，所以异面直线与所成角为直线与直线所成角，即，因为，，所以，所以，所以，即异面直线与所成角为.【点睛】本题考查等体积法求棱锥体积，线线角的求法，考查计算推理，空间想象的能力，属基础题。18.如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。（1）这种蛋筒的表面积；（2）若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到0.1L）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知圆锥的母线，又，可求得圆锥半径r，结合球的表面积公式，即可求解。（2）由（1）知圆锥的高度为，结合体积公式，可求得冰淇淋体积。【详解】解：（1）由题意可知圆锥的母线，所以并且，所以，所以（2）由（1）知圆锥的高度为，所以该冰淇淋的体积为所以【点睛】本题由生活中遇到的实际问题入手，考查圆锥、球的体积与表面积的求法，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力，属基础题。19.如图，已知为四面体内一点，且满足：点与四面体任一顶点的连线均垂直其余三个顶点所确定的平面，设.（1）求证：；（2）若，求证：，为正四面体，并求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用分析法，要证，即证，根据线面垂直的性质定理，即可得证。（2）根据（1）结论及数量积公式，可得，所以，所以.同理可得，所以为正四面体。设，求出、、、的长，结合三角函数及勾股定理可得结果。【详解】（1）要证，即证，，即证.因为垂直平面，，所以，故等式得证.（2）根据（1）的证明可证，即，因为，所以，所以，所以.同理可得.所以底边是等边三角形.同理可得，即四面体的每条棱都相等，所以为正四面体.设，延长交平面于H点，所以即为直线与平面所成的角.连接与交于E点，因为为正四面体，所以，所以，进而，所以，在中，，解得，所以，所以，所以，即直线与平面所成角的大小为.【点睛】本题由向量关系入手，考查分析法证明、向量的数量积公式、线面垂直的性质定理、几何法求解线面角等知识，考查学生计算化简，分析证明，逻辑推理的能力，属中档题。20.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，