上海市2019年高考数学压轴卷（含解析）

上海市2019年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A.B.C.D.2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数是周期函数，最小正周期为；③函数在上是增函数；④函数的图象关于直线对称.其中所有的正确命题的序号为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若=0，则x=______．6.已知双曲线=1的离心率为，则m=______．7.（-）6的展开式中常数项为______．8.函数f（x）=4x-2x+2（-1≤x≤2）的最小值为______．9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．10.若数列{an}满足a11=，-=5（n∈N*），则a1=______．11.已知是R上的增函数，则a的取值范围是______．12.已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______．13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．14.已知各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，则数列{log2an}的前四项和等于______．15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是16.函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；④f（x）没有最大值．其中正确命题的序号是______．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．18.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．19.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量件与单价元之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．根据周销售量图写出件与单价元之间的函数关系式；写出利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21.各项均为正数的数列中，前n项和．求数列的通项公式；若恒成立，求k的取值范围；是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得e=．故选D．2.【答案】A【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3.【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=∵，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．4.【答案】B【解析】∵①中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故①错误；②中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题④错误；由此可选择②③，故选B.5.【答案】1【解析】=4x-2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6.【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．故答案为2或-5．7.【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：Tr+1==（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4．∴（-）6的展开式中常数项==60．故答案为60．8.【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，令t=2x，∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t∈[，2]上递减，在t∈[2，4]上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4．故答案为-4．9.【答案】【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．10.【答案】【解析】-=5，∴{}是以5为公差的等差数列，∴=+5（n-1），∵a11=，∴=+5（11-1）=52，即=2，∴a1=.故答案为．11.【答案】[2，+∞）【解析】首先，y=logax在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数∴a＞1…（1）其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤loga1⇒a≥2…（2）联解（1）、（2）得a≥2．故答案为[2，+∞）．12.【答案】6【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为613.【答案】【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．14.【答案】8【解析】各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．15.【答案】（4，8）【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g′（x）=-=-，由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为（4，8）16.【答案】①④【解析】①f（-x）=lg=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；②2，∴f（x）=lg≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正确；③函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故③不正确；④由③知，f（x）没有最大值，故④正确故答案为：①④．17.【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=•=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..【解析】（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（•ω+φ）=0，即•ω+φ=kπ，①，即T=，得ω=2，代入①得φ=，，取k=1，得φ=，∴f（x）=2sin（2x）；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴∈[]，，得f（x）∈[-2，1]，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）∈[-1，2]，∴k∈[，4]．【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围．19.【答案】（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，则,解得a=-2，b=50.∴p=-2x+50，同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，所以;（2）当12≤x≤20时，销售利润,因此当时,;当20＜x≤28时，销售利润,∵函数在（20,28]上单调递减，∴y75，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;（2）利用二次函数模型，分