搜索
榆林市第二中学2018--2019学年第二学期期末考试高二年级数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.复数z=的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若f′（x0）=4，则=（）A.2B.4C.D.83.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度4.设则（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于25.若复数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-iB.C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i6.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（）A.B.C.D.不能确定8.已知函数f（x）=xsinx+cosx，则的值为（）A.B.1C.D.09.若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（）A.B.C.D.10.已知函数在处有极值10，则等于()A.1B.2C.—2D.—111.由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A.B.4C.D.612.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.＋与2＋的大小关系为________.14.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是________________．15.定积分（2x+）dx的值为______．16.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．18.（本小题12分）已知函数，a，若在处与直线相切．求a，b的值；求在上的极值．19.（本小题12分）已知函数．当，求函数的图象在点处的切线方程；当时，求函数的单调区间．20.（本小题12分）已知函数在处的切线的斜率为1．求a的值及f(x)的最大值；用数学归纳法证明：21.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．22.（本小题12分）已知x，y∈R，且x+y=1．（1）求证：x2+3y2≥；（2）当xy＞0时，不等式|恒成立，求a的取值范围．高二理科数学答案1.C2.D3.B4.C5.C6.A7.B8.D9.C10.B11.C12.B13.＋2＋14.115.3+ln216.17.（本小题10分）解：由题意，如图所示：由y=，y=2-x，y=-x可得交点坐标分别为（1，1），（0，0），（3，-1），则S==．18.（本小题12分）解：（1）f′（x）=-2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线相切，∴，即，解得；（2）由（1）得：f（x）=lnx-x2，定义域为（0，+∞）．f′（x）=-x=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减，∴f（x）在上的极大值为f（1）=-，无极小值．19.（本小题12分）解：（1）根据题意，当a=2时，，∴，∴，，∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（2）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令，解得x1=1，x2=a-1，①当a＞2时，a-1＞1，在区间（0，1）和（a-1，+∞）上，，在区间（1，a-1）上，，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）．②当a=2时，f'（x）0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a-1＜1，在区间（0，a-1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，在（a-1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）④当a=1时，f'（x）=x-1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，，函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是（0，1），综上所述，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是，③当1＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；④当时，函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是.20.（本小题12分）解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．求导数，得f′（x）＝－a．由已知，得f′（－）＝1，即－a＝1，∴a＝1．此时f（x）＝ln（1＋x）－x，f′（x）＝－1＝，当－1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x＝0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max＝f（0）＝0；（2）用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝1＝lne，右边＝ln2，∴左边＞右边，不等式成立．②假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞ln（k＋1）．那么1＋＋＋…＋＋＞ln（k＋1）＋，由（1），知x＞ln（1＋x）（x＞－1，且x≠0）．令x＝，则＞ln（1＋）＝ln，∴ln（k＋1）＋＞ln（k＋1）＋ln＝ln（k＋2），∴1＋＋＋…＋＋＞ln（k＋2）．即当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②，可知不等式对任意n∈N*都成立．21.（本小题12分）解：(1)由，得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0，又由ρ＝2sinθ，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5;(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝20，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4.又直线l过点P(3,)，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.22.（本小题12分）解：（1）由柯西不等式得[x2+（][12+（）2]．∴（x2+3y2）×≥（x+y）2，当且仅当x=3y时取等号．∴x2+3y2≥；（2）=（x+y）（）=2+，要使得不等式|恒成立，即可转化为|a-2|+|a+1|≤4，当a≥2时，2a-1≤4，可得2，当-1＜a＜2时，3≤4，可得-1＜a＜2，当a≤-1时，-2a+1≤4，可得，∴a的取值范围为：（-]．