河海大学弹性力学徐芝纶版-第九章ppt

小结基本方程与边界条件1平衡微分方程（3个）00fijijfσ,2几何方程（6个）)(21,,ijjiijuu)(εuu21应变协调方程：（由几何方程导出，不作为基本方程）第九章空间问题的解答3物理方程（6个）ijijijGελθσ2εIσG2λθ0＝ε共15个方程，15个未知函数，在适当的边界条件下可求出iijiju,,4边界条件1位移边界条件（第一类边值问题）uSonuu2应力边界条件（第二类边值问题）Sontnσ3混合边界条件（第三类边值问题）边界SSSuiiuuijijtnfiij平衡方程ijit条件s本构关系几何方程iuiu静力学方面几何学方面条件us相应的解法有：1按位移求解：表示用它量作为基本未知函数，其以iijijiuu,uuSSSS,,适用于：2按应力求解：表示用它量作为基本未知函数，其以ijijS适用于：3混合解法：作为基本未知函数同时以ijiu,§9-1按位移求解空间问题物理方程)(IεIσuuuGλG2λθ直角坐标：)(,,,ijjiijkkijuuGu代入平衡方程0fijij,0fuuGuiijjjjiijkjk)(,,,得：0fG)u(λuGij,jii2拉梅(Lamé)方程)(,,,ijjiijkkijuuGu边界条件(在直角坐标系)uSonuuSonfnuuGnuijijjiikk)(,,,对于轴对称问题，求解方程成为0)211()1(20)211()1(2222zfwzEfuuE对于球对称问题，求解方程成为0)22()21)(1()1(222rrrrfurdrdurdrudE如图：gfffzyx0pzxo(y)§9-2半空间体受重力及均布压力由于对称（任一铅直平面都是对称面），故可假设：)(,,zwwovoug按位移求解10fuGuGijiji2,)(自然满足2,1i0)(/3222,gdzwdGwGdzdwuijj时有：BAz)E(1g2)(1(1w2)()0)2(22gdzwdG20)()2(2)(2)(2xyzxyzzzyyxxAzgdzdwGGAzg1dzdwGAzg1dzdwGgqAqzzyzx/,0,030)()(xyzxyzzyxgzqgzq1在z=0的表面，有：常数B的决定要利用位移边界条件。假定0)(hzw2)()gqhg)2E(12)(1(1Bν1νzyzx这个比值在土力学中称为侧压力系数球对称问题，体力不计0]22[)222rrrrfurdrdurdrud2)(1(1)E(1由：0ur2drdur2drudr2r2r20urdrdr1drdr22)]([§9-3空心圆球受均布压力积分：2322'2'22/)()(1rBAruBArurrAurdrdAurdrdrrrrr应力分量3rB12EA21Er3rB1EA21E边界条件(先考虑内外所受的均布压力)aarrq)(bbrrq)()21()(3333abEqbqaAba)()(2)(33331abEqqbaBba求解A和B，得径向位移解答为:barqbaraqabrbEru333333331121211212)1(babarqbaraqabrbqbaraqabrb33333333333333331211121111应力解答为:讨论：只受有内压力q，1qbabrqabrbqbabrqabrbr3333333333333333111211121111110qqqba,当ｂ趋于无限大33rqar332rqa2、孔边将发生q/2的切向拉应力，它可能引起脆性材料的开裂。可比较平面问题的lame解答。1、当r趋于无限大，验证了S-V原理2ba，受有内外压力）（*])([)(])([)(3b3a3b3arra22qraq21ra1qraqbrqr很大，则：若应力状态同实心圆球距内壁较远处的可见,ab再次验证了S-V原理3ab0qa,brq230ar处，）式，依（*局部应力集中，与平面孔口应力集中问题比较，集中程度降低。）（*])([)(])([)(3b3a3b3arra22qraq21ra1qraq仅受外压§9-4位移势函数当不计体力时，Lamé方程成为如何求解？0G)u(λuGj,jii2引入位移函数,使方程变得简单假设位移是有势的,iiψ2G1u0ψ0ψ2GGλψ210ψ2GGλψ21,i2,i2,i2,jji,i2从而有：为任意常数c,cψ20G)u(λuGj,jii2特别的，取Ｃ＝０，则02,ijijψσ如果找到适当的调和函数,使得能够满足边界条件，就得到该问题的iiG21u，ijij,正确解答。问题归结为ijjiijijjiij2iiiiijijijG2121G21uu21G21G21uGε2λθσ,,,,,,,)()(而此时轴对称问题Gu21zGw21代入无体力的平衡方程中，得到：0022zc2取Ｃ＝０,应为调和函数,此时：rzzrrrrzzrzr22222,1,问题归结为如果找到适当的调和函数,使得给出的能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。等,,,rrwu应当指出：并不是所有问题中的位移都是有势的，如果位移势函数存在，常数则22G21c表示体积应变在整个弹性体是常量，这种情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问题极其有限。§9-5伽辽金位移函数来表示函数把位移矢量用一个矢量321eeeφζηξ][k,kii2iξξ)2(12G1u代入无体力的平衡方程中0uGuGjiji2,)(0i4运算后得到：k,kijj,ii,j2k,k2ijijξ)ξ(ξ)(1ξδσ，，于是，对于一般的空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数,使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。特殊形式乐甫位移函数0,0在直角坐标系可表示为])1(2[21212122222zGwzyGvzxGu应力分量表达式为])1[(])1[(])1[()()(2222223222222222zyzxzyxzzyzxzzxyzxyzyx在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的表达式为(轴对称问题为其中的特例)])1(2[211212122222zGwzGuGu])1[(])1[(1)(])2[()11()(22222232222222222zzzzzzzzzz伽辽金位移函数不要求有势，求解范围广。体力不计1坐标选择z轴沿荷载F作用线空间轴对称问题zprorzR§9-6半空间体在边界上受法向集中力F应力边界条件要求0)(0,0zzz，时怎么办？00,00)2(00yxzzFFFσdF2)(合成，轴对称由z)(0)(0合成，轴对称由合成，轴对称由zzzyxMMM转化过来之后，空间有6个条件，其中5个自然满足。3选择位移函数考虑采用乐甫位移函数,zGu221(1)由因次分析,要求:~[力][长](2)满足:04选择:2211zARA[长]——含r、z二个变量，并且4]3)21([]3)21([)21(]3)21([)43(225231533131523132131RzRARzRzARzARzRzARrRGAwGRzAuzz求出位移和应力分量6检验应力边界条件0)(0,0zzz，但021)(210,0Azz5补选lame位移势函数考虑到：（1)应当是，ｚ，Ｒ等长度坐标的零次幂~[力]ψ(2)满足：0ψ2Gu21要求＝A２ln(Ｒ＋ｚ)ψ故取：323223222)(])(1[2)(2RARzAzRRAzRRRzAGRAwzRGRAuzz求得：7叠加后，检验应力边界条件0)(0,0zz0)(0,0zz满足0)21(21AA0)2(0Fdz再代入：FAA212)1(421FA2)21(2FA])1(2[2)1(])21([2)1(222RzERFwzRRzERFu5253232223,23][2)21(]3)21([2RzFRFzzRRRzRFRzzRRRFzzz联立求得Boussinesq解答EFwz)1()(20表面沉陷体力不计1坐标选择非空间轴对称问题§9-7半空间体在边界上受切向集中力F应力边界条件20),,(0,0rzzyzxz0)(00)(00)(0dxdyxydxdydxdyzxdxdydxdyzyFdxdyzyzxzzxzzyzyzzxF选择位移函数3(1)伽辽金位移函数RA1，0，)ln(2zRxAzRxA3(2)lame位移势函数：满足：0i4满足：0ψ24求出应力分量检验应力边界条件5求出：)1(41FA)1(4)21(2FA2)21(3FA6Cerruti解答])21([2)1(])()21([2)1(]})()[21(1{2)1(2222222zRxRxzERFwzRxyRxyERFvzRxzRRRxERFu]3)2()(21[2232323]3)2()(21[2]3)2()(21[222222235255222222232222223RxzRRxxRzRRFyRzFxRFxyzRFxzRyzRRxxRzRRFxRxzRRyyRzRRFxxyzxyzzyx讨论：半空间体在边界上受集中力作用应力分布特征(1)当Ｒ→∞时，各应力分量都趋于零；当Ｒ→０时，各应力分量都趋于无限大。(2)水平截面上的应力都与弹性常数无关，其它截面上的应力，一般都