陕西省咸阳百灵中学2018-2019学年高二数学下学期第二次月考试题 文

咸阳百灵学校2018～2019学年度第二学期第二次月考高二数学（文）试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.（1+i）（2+i）=（）A.1--iB.1+3iC.3+iD.3+3i2．给定下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒ba1；④a＞b⇒1a1b．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．33．已知x0，y0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．364．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．不确定5．若x0，y0，M＝x＋y1＋x＋y，N＝x1＋x＋y1＋y，则M，N的大小关系是()A．M＝NB．MNC．M≤ND．MN6．若abc，则下列不等式成立的是()A．1a－c1b－cB．1a－c1b－cC．acbcD．acbc7．过点A4，2π3与极点的直线的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2B．ρcosθ＝－23C．ρsinθ＝23D．θ＝2π38．过极点的圆的方程为ρ＝sinθ，则它的圆心的极坐标为()A．(1,0)B．12，0C.1，π2D．12，π29.函数y＝1x－3＋x(x＞3)的最小值是()．A．5B．4C．3D．210.若x0,则4x+的最小值是()A.9B.3C.13D.不存在11.设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为()A.12B.14C.1D.3412.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1B．2C．3D．4二、填空题13.对任意两个正数a，b，有______≥ab(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．14.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴且与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系．若圆C的极坐标方程为25sin，则其直角坐标方程为__________．15．有以下四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.其中能使1a＜1b成立的有________个条件．16..用数学归纳法证明“Sn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋11(n∈N＋)”时，S1等于________.三、解答题17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1{xcosysin（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。18.解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)|x＋1|＋|x|2.19..若正数x,y满足x+4y=4,求xy的最大值20.若a，b，c均为正数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.21..某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?22.用数学归纳法证明：nn1)1(（其中n,1是正整数）.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)2.（1+i）（2+i）=（）A.1--iB.1+3iC.3+iD.3+3i2．给定下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒ba1；④a＞b⇒1a1b．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析对于①②，只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，ba1才成立，故③错误；当a＞0，b0时，④错误．3．已知x0，y0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36答案B解析(1＋x)(1＋y)≤＋x＋＋y22＝2＋x＋y22＝2＋822＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.4．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．不确定答案C解析M－N＝ab－a－b＋1＝(1－a)(1－b)0，∴MN.5．若x0，y0，M＝x＋y1＋x＋y，N＝x1＋x＋y1＋y，则M，N的大小关系是()A．M＝NB．MNC．M≤ND．MN答案B解析∵x0，y0，∴x＋y＋11＋x0，1＋x＋y1＋y0，∴x1＋x＋yx1＋x，y1＋x＋yy1＋y，故M＝x＋y1＋x＋y＝x1＋x＋y＋y1＋x＋yx1＋x＋y1＋y＝N，即MN.6．若abc，则下列不等式成立的是()A．1a－c1b－cB．1a－c1b－cC．acbcD．acbc答案B解析因为abc，所以a－c0，b－c0，且a－cb－c，所以1a－c1b－c.7．过点A4，2π3与极点的直线的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2B．ρcosθ＝－23C．ρsinθ＝23D．θ＝2π38．过极点的圆的方程为ρ＝sinθ，则它的圆心的极坐标为()A．(1,0)B．12，0C.1，π2D．12，π29.函数y＝1x－3＋x(x＞3)的最小值是()．A．5B．4C．3D．210.若x0,则4x+的最小值是()A.9B.3C.13D.不存在2x+2x+≥3,当且仅当2x=,即x=解析:因为x0,所以4x+=2x时等号成立.11.设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为()A.12B.14C.1D.34解析由柯西不等式(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，因为a＋b＋c＋d＝1，于是由上式得4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，于是a2＋b2＋c2＋d2≥14，当且仅当a＝b＝c＝d＝14时取等号.12.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.答案：C二、填空题13.对任意两个正数a，b，有______≥ab(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．14.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴且与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系．若圆C的极坐标方程为25sin，则其直角坐标方程为__________．【答案】2255xy【解析】极坐标方程25sin，两边同乘以，∴225sin，∴2225xyy，∴2255xy．15．有以下四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.其中能使1a＜1b成立的有________个条件．解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.综上知，①②④均能使1a＜1b成立．答案：316..用数学归纳法证明“Sn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋11(n∈N＋)”时，S1等于________.解析n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝12＋13＋14.三、解答题17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1{xcosysin（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。18.解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)|x＋1|＋|x|2.解(1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－65，∴原不等式的解集为xx≥2或x≤－65.(2)[解]法一：利用分类讨论的思想方法．当x≤－1时，－x－1－x2，解得－32x≤－1；当－1x0时，x＋1－x2，解得－1x0；当x≥0时，x＋1＋x2，解得0≤x12.因此，原不等式的解集为x|－32x12.法二：利用方程和函数的思想方法．令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2＝2x－x，－－1≤x，－2x－x－作函数f(x)的图像(如图)，知当f(x)0时，－32x12.故原不等式的解集为x|－32x12.法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为x－32＜x12.法四：利用等价转化的思想方法．原不等式⇔0≤|x＋1|2－|x|，∴(x＋1)2(2－|x|)2，且|x|2，即0≤4|x|3－2x，且|x|2.∴16x2(3－2x)2，且－2x2.解得－32x12.故原不等式的解集为x－32＜x1219..若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析:由平均值不等式可得x+4y≥2=4,当且仅当x=4y=2时等号成立,所以4≤4,所以0xy≤1,故xy的最大值为1.20.若a，b，c均为正数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca.由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca..21．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组y＝x－，y2＝2x，解得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.21..某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?解由题意可得,总造价y=3+5800=900+5800(0x≤5),于是由平均值不等式,得y=900+5800≥900×2+5800=13000(元),当且仅当x=,即x=4时,等号成立.故当侧面的长度为4m时,总造价最低.22.用数学归纳法证明：nn1)1(（其中n,1是正整数）..