陕西省西安中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学（理科）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|lg0},{|4}MxxNxx≤，则MN（）A．(2,0)B．[1,2)C．(1,2]D．(0,2]2．设复数z满足(1i)1iz（其中i为虚数单位），则z（）A．iB．iC．2iD．2i3．已知命题:p若||ab，则22ab；命题:qm、n是直线，为平面，若m//,n，则m//n.下列命题为真命题的是（）A．pqB．pqC．pqD．pq4．已知nS为数列{}na的前n项和，1nnSa，则5S（）A．3132B．312C．132D．31165．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是（）A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为127，，…，）建立投资额y与时间t的线性回归模型ˆ9917.5yt，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.6．已知直线π6x是函数()sin(2)fxxπ(||)2图象的一条对称轴，为了得到函数()yfx的图象，可把函数sin2yx的图象（）A．向左平行移动π6个单位长度B．向右平行移动π6个单位长度C．向左平行移动π12个单位长度D．向右平行移动π12个单位长度7．函数1()ln||fxxx的图象大致为（）8．若2.0log5.0a，2log5b，2.05.0c，则,,abc的大小关系为（）A．acbB．abcC．bacD．cba9．若点(2,22)A在抛物线2:2Cypx上，记抛物线C的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则FAFB（）A．10B．23C．3D．9210．已知在区间[0,]上，函数3sin2xy与函数1sinyx的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为'P，'P的横坐标为0x，则0tanx的值为（）A．12B．43C．45D．81511．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知12FF、是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260FPF时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．3B．2C．233D．212．已知函数12xfxmxxee(e为自然对数底数)，若关于x的不等式0fx有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．32eeB．22eeC．32eeD．22ee第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知,ab为互相垂直的单位向量，若cab，则cos,bc．14．已知函数3()2fxxx，若2(1)(2)0fafa，则实数a的取值范围是．15．数列na是等差数列，11a，公差d∈[1，2]，且4101615aaa，则实数的最大值为．16．已知矩形ABCD，1AB，3BC，将ADC△沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．①三棱锥DABC的体积的最大值为13；②三棱锥DABC的外接球体积不变；③三棱锥DABC的体积最大值时，二面角DACB的大小是60；④异面直线AB与CD所成角的最大值为90．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cCab21cos．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若3ACAB，求a的最小值．18．（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元的部分3%1不超过3000元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%2超过3000元至12000元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%3超过12000元至25000元的部分20%………………（Ⅰ）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？ABCDP0.160.140.120.100.080.060.040.02频率组距（Ⅱ）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD．（Ⅰ）证明：ABPD；（Ⅱ）若,90PAPDABAPD，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆E：222210xyabab的离心率为22，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为42．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线40xmy与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足2PAPBtOP（O为坐标原点）．当1t时，求OAOB的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数122()lnxefxaxxx（a为常数）在区间(0,2)内有两个极值点1212,()xxxx．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：122(1ln)xxa．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为cos1sinxy（为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为sin23，射线:6OM与圆C的交点为P（异于极点），与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|2||2|fxxax，（Ⅰ）当a=2时，求不等式()2fx的解集；（Ⅱ）当[2,2]x时不等式()fxx恒成立，求a的取值范围西安中学高2020届高三期末考试数学（理科）参考答案一、选择题:题号123456789101112答案CBBADCAADBAC二、填空题：13．2214．1[1,]215．1216．②④三、解答题:17．解：（Ⅰ）∵△ABC中，cCab21cos，∴由正弦定理知，CCABsin21cossinsin，…………2分∵CBA∴ACCACABcossincossin)sin(sin，∴CCAACCAsin21cossincossincossin，…………4分∴CACsin21cossin，∴21cosA，∴3A．…………6分（Ⅱ）∵3ACAB∴3cosAACAB，得6bc…………8分所以6626cos222222bccbAbccba当且仅当cb时取等号…………11分所以a的最小值为6…………12分18．解：（Ⅰ）设小李9月份的税前收入为x元，因为295345所以按调整起征点前应缴纳个税为：15003%500010%295x，解得7500x…………2分按调整起征点后应缴纳个税为：750050003%75调整后小李的实际收入是7500757425（元）…………4分（Ⅱ）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，则有0.1220.1650.5x，解得6.625x（千元）估计该公司员工收入的中位数为6625千元.…………8分（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为0.2400.32300.2900.122900.084900.04690129.2（元）估计小李所在的公司员工平均纳税2.129元…………12分19．解：（Ⅰ）依题意，平面PAD平面ABCD，ABAD…………………1分AB平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，…………………2分AB平面PAD，又PD平面PAD……………4分ABPD…………5分（Ⅱ）在PAD△中，取AD中点O，连接PO，,,PAADPOADPO平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA为x轴，过点A且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．……………………6分设2PA，90APD，22AD．22(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0),(2,0,0),,1,22PBCAQ，22(2,2,2),(22,0,0),,1,22PBBCAQ………………………8分设平面PBC的法向量为(,,)nxyz，则2220220nPBxyznBCx，取1y，得(0,1,2)n……………9分设直线AQ与平面PBC所成角为，则6sincos,3AQnAQnAQn……10分因为0,2，23cos1sin3ABCDPxyzOQ所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为33．…………………12分20．解：（Ⅰ）依题意得，22cea．以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为42，则122422ab，解得24a，22b．所以椭圆E的方程为22142xy．……………………4分（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，联立方程221,424,xyxmy得22(2)8120mymy，264960m26m，…………………………6分12282myym，122122yym，…………………………7分因为2PAPBtOP，即2OAOPOBOPtOP，所以OAOBtOP．所以点1212(,)xxyyPtt，又点P在椭圆C上，所以有221212()2()2xxyytt，化简得2221212[()8]2()4myyyyt，所以2222288()(2)16()644022mmmmtmm，化简22322mt，因为1t，所以2630m，………………………………9分因为21212121212441416OAOBxxyymymymyymyy，又12282myym，122122yym，所以224442mOAOBm．令22((8,32])mss，则452524sOAOB