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第6章正弦稳态电路分析AnalysisonStableSinusoidalCircuit重点：１．正弦量的三要素、有效值和相位差２．正弦量的相量表示和正弦电路的相量模型３．正弦电路的相量法分析与计算４．正弦电路的功率计算５．提高正弦电路功率因素的意义和方法６．正弦电路的谐振条件和特征7．耦合电感交流电的概念电路中的电流或电压周期变化,则称之为交变电流或交变电压。如正弦波、方波、三角波等信号。TutuTt一个周期的平均值为零电路中交流电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，在电路中产生电流、电压的大小和方向也按正弦规律变化，此电路称为正弦交流电路。正弦交流电路ti单相正弦交流电路和三相正弦交流电路正弦量要先选定参考方向,才能正确地表示和计算。ti正弦交流电量的参考方向关联方向:u=iRiuRi=ImsinωtA若改变电流i的参考方向：实际方向和参考方向相反实际方向和参考方向一致瞬时值的正负是相对于参考方向而言则：i=-Imsinωt=Imsin(ωt+180o)A非关联方向:u=-iR参考方向影响正弦量的相位角和初始值3.1.1正弦量的三要素()ψω+=tImsiniitω：电流幅值(最大值)→大小：角频率→变化快慢：初相角→起点和初始值mIωψ三要素:ψ6.1正弦量的概念Im小写字母表示瞬时值或时间函数的变量Im为正弦电流的最大值或幅值正弦量三要素之一---幅值工程中常用有效值表示交流量的大小。交流电表指示的电压、电流读数，通常为交流量的有效值。如我国的日常民用单相交流电压220V、380V，均为有效值。最大值最大值表示大写字母加下标,Um、Im()ψω+=tImsini则有∫=T02dtT1Ii有效值I也称为均方根值当时,可得：()ψω+=tImsini交流dtRT02∫iRTI2=热效应相当正弦电路中,大写U、I表示有效值有效值的概念:在一个T周期内,当直流电流I与交流电流i的热效应相当，则称I为i的有效值。2mII=正弦量有效值与幅值之比为常数√2直流()ψω+=tI2sini正弦量可表示为：()ψω+=tU2sinu描述交流量变化快慢的几种物理量：1.周期T：变化一周所需的时间，单位：秒s，msTf1=fTππω22==正弦波三要素之二—角频率3.角频率ω：每秒变化的弧度数单位：弧度/秒rad/s2.频率f：每秒变化的次数，单位：赫兹Hz，kHzitωT我国工频电源：f=50Hz,ω=314rad/s,T=0.02st()ψω+=tIisin2正弦波三要素之三——初相位：t=0时的相位角，称为初相位或初相角。ψ说明：给出观察正弦波的起点或参考点ψ用于描述同频率正弦波之间的相位关系。iψtω）（ψω+t：正弦波相位角或相位itω(b)Ψ0(c)Ψ0(a)Ψ=0-1800Ψ1800初相位的三种情况:i(0)=0i(0)＞0i(0)＜0参考正弦量:i(t)=ImsinωtitωΨitωΨ两个同频率正弦量之间的相位差等于初相差0=00()()iuiuωtϕ−=+−+=ψψψψωt选定参考正弦量,求出其余正弦量与参考正弦量之间的相位差ϕ,便确定全部正弦量的初相位()itisinImψω+=()umtUusinψω+=uiωtΨuΨi相位差ϕ表示正弦信号的相位关系-1800ϕ1800ui同相tu滞后iu超前iu超前tui同相Ψu=Ψiϕ=Ψu-Ψi=0ΨuΨiϕ=Ψu-Ψi0ϕ=Ψu-Ψi0iuiuu滞后tΨiΨuiuui反相ϕ=±180o相位差180otiu例幅值：A707021IA1Im.===()°+=301000sinti已知：Hz159210002rad/s1000====ππωωf频率：°=30ψ初相位：A求三要素iuψψϕ-=90°-(-90°)=180°=uit()sin90°ω+=tUum()sinω−=tIim90°相位差为±180°,u、i反相例:求相位差同频率正弦量加减运算后,频率不变。()()22211122uutsinUutsinUuψωψω+=+=如：结论:同频率正弦量的加减运算，角频率ω保持不变，只需求幅值与初相位。()()()uuutsinUtsinUtsinUuuuψωψωψω+=+++=+=222221121频率不变♣相量必须小写前两种表示不方便计算,要求掌握相量分析法。♣波形图itω重点6.2正弦量的相量表示法♣瞬时值表达式()Α°+=301000sinti概念：正弦量瞬时值等于一旋转矢量在纵轴上的投影值一.旋转矢量与正弦量1.矢量长度=Im2.矢量与横轴夹角Ψ=初相位3.矢量以角速度ω逆时针方向旋转一.相量法最大值相量：Im=ImejΨ有效值相量：I=IejΨIm=Imej(ωt+Ψ)=Imcos(ωt+Ψ)+jImsin(ωt+Ψ)欧拉公式:ejΨ=cosΨ+jsinΨ()ψtωsinIm+=iψmItωωψImi表示同频率正弦量的相量:相量即初始矢量1-j=1.描述正弦量的有向线段称为相量(phasor),若模(长度)用最大值,用符号：，用有效值,则用符号:相量图:2.实际应用中更多采用有效值，则用符号：3.相量U、I包含幅度与相位信息6.相量与正弦量之间只是对应关系,不是相等关系用相量计算同频率的正弦量UmUUI7.相量法变三角运算为复数运算,变微分方程为代数方程最大值相量：Um=UmejΨ有效值相量：U=UejΨmUU或Ψu=Umsin(ωt+Ψ)5.相量只能用来计算同频率的正弦量abtgbaU122−=+=ψ相量U放在复平面上：ΨΨsincosjUUjbaU+=+=a、b分别为U在实轴和虚轴上的投影二.相量式实部分量虚部分量ab+1UUjΨ代数式指数式极坐标式U=a+jb=U(cosΨ+jsinΨ)三角式=UejΨ=U∠Ψab+1UUjΨ相量图例1:已知瞬时值表达式，求有效值相量。已知:V3314sin1.311A6314sin4.141⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=ππtuti解：A506.86301003024.141jI+=∠=∠=ooV5.190110602206021.311jU−=−∠=−∠=oo正弦量与相量之间的转换举例例2：已知相量，求瞬时值A)306280sin(210A)606280sin(210021oo+=−=titi解:6280100022=×==ππωfsrad已知两个频率相同f=1000Hz的正弦电流相量为:A10A601003021oojeII=-∠=求：正弦电流21ii、()()222111tU2tU2ψωψω+=+=sinusinu例1：将正弦电压用相量图表示哪一个超前？U2U1超前1ψ2ψU1U2+j+1设:相位：有效值：12UU12ψψ相量法应用举例例2：相量相加减——平行四边形法则aψ2ψU21ψU1Ua()ua=u1+u2=sin2ψaω+tUa+=UaU1U2u1=√2U1sin(ωt+Ψ1)u2=√2U2sin(ωt+Ψ2)Ub=U1-U2...()ub=u1-u2=sin2ψbω+tUbbψ2ψU21ψU1Ub-U2Ub只有同频率的正弦相量才能画在一张相量图上u1=2002sin(ωt+450)Vu2=-1502sin(ωt+1500)V用相量分析法计算：u=u1+u2,并画相量图解:求相量1U&=200∠450Vu2=150sin(ωt+1500-1800)=15022sin(ωt-300)V2U&=150∠-300V21UUU&&&+==200∠450V+150∠-300VV13.8279.3j66.4)(271.3j75)V3752j1002(100o∠=+=−++=u=279.32sin(ωt+13.8o)V+1+j1U&2U&U&例:已知相量图注意：只有同频率的正弦量才能用相量计算。只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。用相量图可进行相量的加减运算，用相量复数形式可进行相量的加减乘除运算。正弦量相量(复数表示)复数运算正弦量设a、b为正实数，确定相量相位所在象限ΨjeUjbaU=+=Ψ在第一象限ΨjeUjbaU=−=Ψ在第四象限ΨjeUjbaU=+−=Ψ在第二象限Ψ在第三象限ΨjeUjbaU=−−=Ψ取值：180°≥Ψ≥-180°)9126sin(25o⋅−=tuω43jU−−=)9126sin(25o⋅+=tuω43jU+−=)153sin(25o⋅−=tuω43jU−=)153sin(25o⋅+=tuω43jU+=例如:j+1U1Ψ1=60oΨ2=120°U2U3Ψ3=-120o相量的复数运算1.复数加减运算设：111jbaU+=222jbaU+=则：ΨjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121代数式方便进行相量的加减运算2.复数乘除运算乘法:)(212121ΨΨ+==jeUUUUU212211ΨΨjjeUUeUU==设:除法:()212121ΨΨ−=jeUUUU极坐标式方便相量的乘除运算±j称为90°旋转因子相量乘以+j，使相量逆时针转90°相量乘以-j，使相量顺时针转90°j90sinj90cos90j±=°±°=°±e3.90o旋转因子:±j求:BAC&&&×=ψααA&C&C′&-+j+1将逆时针旋转角度A&α)(jjAeeACαψα−−==′&&将顺时针旋转角度A&αIjI解:)(jjAeeACαψα+==&&已知：αψjje，BAeA±==&&乘以ejα使相量旋转α角j2I=-II/j基尔霍夫定理的相量形式01=∑=•nkkU01=∑=nkkuKVL:01=∑=•nkkI01=∑=nkkiKCL:相量形式：相量形式：KCL、KVL是电路的基本定律，对同频率正弦电量的加减计算，可用相量形式表示：有效值一般不能用KCL和KVL,即：∑U≠0；∑I≠0例:正弦电路U1=U2=100V,初相位Ψ1=0o,Ψ2=-90o,求表V读数U解:1U&=100∠00V2U&=100∠-900=-j100V21UUU&&&+==100∠00V+100∠-900V=100-j100=1002∠-450V=141.4∠-450可得U=141.4V,即电压表V读数为141.4V1U&2U&U&相量图VRCu1u2uV2V1可知U≠U1+U2,有效值不满足KCL、KVL：0,0≠∑≠∑IU波形图瞬时值相量图相量式小结：正弦量的四种表示法()ψω+=tUmsinuTψtωuUIψψ∠==+=•UUjbaUjeUm符号规定瞬时值---小写u、i有效值---大写U、I有效值相量,幅值相量---大写上加“•”最大值---大写+下标mUU&&Um、Im书写正误判断？瞬时值复数正弦量与相量之间有对应关系，但不相等U=50V)15sin(250o+u=tω)V15sin(2505015o+==°teUjωV6.3.1电阻元件iuR6.3单一参数伏安关系的相量形式选电流为参考正弦量：i=Imsinωt则:u=RImsinωt=Umsinωt1.u、i关系瞬时值表达式：u=Ri—Ω’sL相量法求解电路,除KCL、KVL外,还需元件伏安特性—欧姆定律相量形式2.三要素2)角频率ω相同3)相位相同Ψu=Ψi，即：ϕ=Ψu-Ψi=01)幅值:Um=RIm，有效值:U=RI电阻上的电压与电流同相4.相量关系5.相量图电阻上的电压与电流同相得欧姆定律相量式:Um=RIm或：U=RI3.波形图uiωt设：Um=Umej0，则：Im=Imej0oo=Umej0o=UmIm=RImUmImej0oUI=UIUIu=RImsinωt=Umsinωt电阻的功率计算uiR1.瞬时功率p：电压与电流的瞬时值相乘小写RuiRiup/22==⋅=i=Imsinωtu=Umsinωt=UmImsin2ωt=UI-UIcos2ωtωtuiUI2.p≥0(耗能元件)1.p随时间2ω变化电阻上瞬时功率的波形图p3.p平均值为UI2.有功功率P：一个周期内消耗的平均功率大写P=UI=I2R=U2/RU=IR=UmImsin2ωt=UI-UIcos2ωtp∫=TdtpTP01=1T0TUI(1-cos2ωt)dt=UI(W)∫电