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西安中学高2020届第二学期期末考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论．【详解】∵点P的直角坐标为，∴，．∵点P在第二象限，∴取θ．∴点P的极坐标方程为（，）．故选：B．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，，属于基础题．2.极坐标方程表示的图形是（）A.两个圆B.一个圆和一条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】【分析】结合极坐标方程以及互化公式，将其转化为直角坐标方程，即可判断曲线类型.【详解】因为，所以可得或，利用互化公式即可转化为，表示一个圆；即可转化为，表示一条射线.故选C.【点睛】主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.3.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为.【详解】将圆化成在平面直角坐标系下的形式，圆，圆心为，半径.已知直线，那么，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，所以上各点到的距离的最小值为.故答案为A.【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.4.下列命题中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由于本题是考查不等式的性质比较大小，所以一般要逐一研究找到正确答案.详解：对于选项A，由于不等式没有减法法则，所以选项A是错误的.对于选项B，如果c是一个负数，则不等式要改变方向，所以选项B是错误的.对于选项C,如果c是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C是错误的.对于选项D，由于此处的，所以不等式两边同时除以，不等式的方向不改变，所以选项D是正确的.故选D.点睛：本题主要考查不等式的基本性质，不等式的性质主要有可加性、可乘性、传递性、可乘方性等，大家要理解掌握并灵活运用.5.已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的定义域，计算定义域，再考虑分母不为0，计算得到答案.【详解】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且.所以解得故答案为C【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.6.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可．【详解】图象不满足函数的定义域，不正确；满足函数的定义域以及函数的值域，正确；不满足函数的定义，故选：C．【点睛】本题考查函数的图象以及函数的定义的判断与应用，是基础题．7.不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到的关系，判断为负数，将的关系代入后一个不等式，解得答案.【详解】由题意知：是方程的两个解，代入方程得到，不等式可化为：即解得故答案选B【点睛】本题考查了解不等式，抓住不等式与对应方程的关系得到系数关系是解题的关键.8.已知命题；命题．若为假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由为假命题，知均为假命题，再分别计算命题范围得到答案.【详解】由为假命题，知均为假命题.命题为假命题命题为假命题综上知：故答案选D【点睛】本题考查命题的真假判断，将命题转化为等价的取值范围是解题的关键.9.定义在R上的函数满足．当时，；当时，，则（）A.335B.336C.338D.2016【答案】C【解析】【分析】根据题意知函数周期为6，再计算一个周期内的所有值，将2019按照6个一组分成多份，计算得到答案.【详解】定义在R上的函数满足,则函数的周期是6,当时，；当时，则在一个周期内:所以答案选C.【点睛】本题考查函数值的计算,利用函数的周期性推导抽象函数的周期是解决本题的关键.10.设函数的最小值是1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当时，的最小值是1，因此在时，，由单调性可得.【详解】时，的最小值为要使的最小值是1，必有时，的最小值不小于，因为在上递减，所以时，，则，实数的取值范围是，故选B．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，解题时需要分段讨论，这样二次函数在上不小于1恒成立，由单调性易得结论.11.定义在上的偶函数，当，都有，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得函数在上为减函数，在上为增函数，且，再由，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，对于任意，都有，可得函数在上为递减函数，又由函数是R上的偶函数，所以函数在上为递增函数，且，由可得：当时，，即，可得，当时，，即，可得，综上可得不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断和应用，其中解答中根据函数的奇偶性和单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档试题.12.设函数，，对任意，都存在，使，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：设函数的值域为，设函数的值域为，对任意，都存在，使等价于，又因为，即，所以的值必能取遍区间的所有实数，当时，函数的图象开口向下，且,符合题意；当时，上符合题意；当时，函数的值要想取遍的所有实数，当且仅当，即，综上所述，的取值范围为.故选A.考点：1.函数的值域；2.全称量词与特称量词的意义；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了函数的性质、值域求法以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题；全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.“若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.14.已知实数满足不等式组则的最大值是_____．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【详解】设z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z＝2×3＝6，．故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知函数，若实数满足，则等于_____．【答案】【解析】【分析】判断函数为奇函数和增函数，再根据奇函数单调函数性质得到【详解】函数，易知函数为奇函数，且单调递增.故答案为-2【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，利用函数性质是解题的关键.16.已知关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将方程转化为对应函数，根据函数值与开口方向的关系解得答案.【详解】关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1.则根据函数的零点存在定理：1:当时，只需满足即2:当时，只需满足即综上所诉：故答案为：【点睛】本题考查了方程的根的分布求参数范围，转化为函数的零点存在定理是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先解分式不等式得集合B,再根据交集定义得结果，（2）先根据条件得，按是否为空集分类讨论，再结合数轴得不等式，解得结果.【详解】（1），（2）由可得若，则，即若，则，即，综上所述，【点睛】本题考查分式不等式以及交集，考查基本分析求解能力，属基础题.18.已知函数是定义在上的增函数，且满足，.（1）求；（2）求不等式的解集．【答案】（1）3（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集试题解析：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3（2）原不等式可化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f（8x-16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：考点：抽象函数及其应用，函数的单调性的应用19.在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为、，求的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用直线参数方程的几何意义算得.【详解】解：（1）由直线的参数方程，得普通方程为；由曲线的极坐标方程为，得，将代入上式可得：.所以曲线的直角坐标方程为；（2）将代入，得，即.设、对应的参数分别为、，则，.所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用直线参数方程的几何意义是解题的关键.20.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）讨论范围去掉绝对值符号，再解不等式.（2）将函数代入不等式化简，再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值，转化为存在问题求得答案.【详解】解：（1），∴或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是（，）．（2）（当时等号成立），因为不等式解集非空，∴，∴，∴或，即或，∴实数的取值范围是．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，存在问题，题型比较综合，意在考查学生的计算能力.21.已知函数且是定义在上的奇函数．（1）求的值；（2）求函数的值域；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，代入计算得到答案.（2）将函数分离常数，根据指数函数范围推导分式的范围，最后得到答案.（3）将函数代入不等式，判断正负，参数分离，用换元法取，根据函数的单调性得到最值，最后得到答案.【详解】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，当时，经验证是奇函数，故;（2）由（1）知，，∴．所以的值域为（3）当时，．由题意得在时恒成立，∴在时恒成立．令，，则有，∵函数在[1，3]上单调递增，∴当时，.∴.故实数的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）.【点睛】本题考查了奇函数性质与计算，分离常数法求值域，参数分离，换元法，函数的单调性，综合性很强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．.【解析】【分析】（1）先确定每套丛书定价为100元时的销售量，从而可得时每套供货价格，根据销售每套