陕西省西安中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）

西安中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分．每题有且只有一个正确答案，直接将答案填写在指定位置）1．下列表述正确的是（）．A．0B．0C．0D．0【答案】B【解析】因为空集是非空集合的子集，所以B正确．故选B．2．若全集0,1,2,3U且2UAð，则集合A的真子集共有（）．A．3个B．5个C．7个D．8个【答案】C【解析】∵0,1,2,3U且2UAð，∴0,1,3A，∴集合A的真子集共有3217．故选C．3．将二次函数23yx的图像先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数图像的解析式为（）．A．23(2)1yxB．23(2)3yxC．23(2)1yxD．23(2)1yx【答案】D【解析】由“左加右减”的原则可知，将二次函数23yx的图像先向右平移2个单位所得函数的解析式为：23(2)yx；由“上加下减”的原则可知，将二次函数23(2)yx的图像向下平移1个单位所得函数的解析式为：23(2)1yx．4．若函数()yfx是函数xya（0a，且1a）的反函数，且(2)1f，则()fx（）．A．2logxB．12xC．12logxD．22x【答案】A【解析】函数xya（0a，且1a）的反函数是()logafxx，又(2)1f，即log21a，所以，2a，故2()logfxx．故选A．5．已知函数02()(2)1fxxx，则()fx的定义域为（）．A．|1xxB．|1xx≥或2xC．|1xx且2xD．|2xx【答案】C【解析】由题意得：1020xx，解得：1x且2x，故函数的定义域是|1xx且2x．故选C．6．如果函数2()2(1)2fxxax在区间,4上单调递减，那么实数a的取值范围是（）．A．3a≤B．3a≥C．3aD．以上选项均不对【答案】A【解析】∵二次函数2()2(1)2fxxax的对称轴为2(1)12axa，且抛物线开口向上，∴函数2()2(1)2fxxax的单调递减区间为,1a，∵函数2()2(1)2fxxax在区间,4上单调递减，∴14a≥，解得：3a≤．即实数a的取值范围是3a≤，综上所述．故选A．7．方程3log280xx的解所在区间是（）．A．(5,6)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)【答案】B【解析】∵3()log82fxxx，∴3(1)log18260f，3(2)log2840f，3(3)log38610f，3(4)log40f，∴(3)(4)0ff，∵函数3()log82fxxx的图象是连续的，∴函数()fx的零点所在的区间是(3,4)．故选B．8．已知0a，且1a，函数xya与log()ayx的图像只能是图中的（）．A．xyO11B．xyO111C．xyO11D．xyO111【答案】B【解析】已知1a，故函数xya是增函数，而函数log()ayx的定义域为(,0)，且在定义域内为减函数．故选B．9．若2log,0,()4,0,xxxfxx≤则12ff（）．A．1B．1C．12D．12【答案】B【解析】10．函数212log(617)yxx的值域是（）．A．RB．8,C．,3D．3,【答案】C【解析】∵22617(3)88txxx≥，∴内层函数的值域变8,，12logyt在8,是减函数，故12log83y≤，∴函数212log(617)yxx的值域是,3，综上所述．故选C．11．()fx是定义域为R上的奇函数，当0x≥时，()22xfxxm（m为常数），则(2)f（）．A．9B．7C．9D．7【答案】D【解析】∵()fx为定义在R上的奇函数，当0x≥时，()22xfxxb（b为常数），(0)10fb，1b，∴2(2)(2)24(1)7ff．故答案为：7．故选D．12．已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm≤，其中0m，若存在实数b，使得函数()yfx与直线yb有三个不同的交点，则m的取值范围是（）．A．(3,)B．(3,8)C．(,3)D．(8,3)【答案】C【解析】当0m时，函数2||,()24,xxmfxxmxmxm≤的图象如下：my=4mm2y=bfx()=x2mx+4mx＞m()x=mxyO∵xm时，2()24fxxmxm，222()44xmmmmm，∴y要使得关于x的方程()fxb有三个不同的根，必须24(0)mmmm，即23(0)mmm，解得3m，∴m的取值范围是(3,)，故答案为：(3,)．故选C．二、填空题：（本题共4个小题，每题5分，共20分，直接将答案填写在指定位置）13．已知0,2,Mb，20,2,Nb，且MN，则实数b的值为__________．【答案】1【解析】已知0,2,Mb，0,2,Nb，且MN，求实数b的值．2bb或1，但0b不合题意．1b．14．若函数2(1)mymmx是幂函数，且是偶函数，则m__________．【答案】2【解析】∵函数是幂函数，∴211mm，即220mm，则1m或2m，当1m时，yx是奇函数，不满足条件．当2m时，2yx是偶函数，满足条件．即2m．15．若0.52a，log3xb，2log0.3c，则它们由大到小的顺序为__________．【答案】abc【解析】因为0.50221a，πππ0log1log3logπ1b，22log0.3log0.30c，即1a，01b，0c，所以由大到小的顺序为abc．16．已知(0)1f，()(1)fxxfx，则(4)f__________．【答案】24【解析】由()(1)fnnfn，(0)1f，可得(1)(0)1ff，(2)2(1)2ff，(3)3(2)6ff，(4)4(3)24ff．综上所述，答案为24．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷中相应位置作答）17．（本题10分）计算（1）11221233112534316．（2）5log3333322log2loglog859．【答案】（1）6．（2）1．【解析】（1）原式1121243323352712(2547)6．（2）原式233332log2loglog839324893log393log3231．18．（本题10分）设集合|16Axx≤≤，|121Bxmxm≤≤，已知ABB，求实数m的取值范围．【答案】见解析．【解析】当B时，2112mmm，此时BA；当B时，BA，则12151102216mmmmm≤≥≤≤≤．19．（本题12分）已知函数2()22fxxax．[5,5]x．（1）求函数()fx在[5,5]上的最大值()ga．（2）求()ga的最小值．【答案】见解析．【解析】（1）函数22()()2yfxxaa的图像的对称轴为xa，①当5a≤，即5a≥时函数在区间[5,5]上是增加的，所以max()(5)2710fxfa．②当50a≤，即05a≤时，函数图像如图所示，由图像可得max()(5)2710fxfa．1234512345xyO③当05a≤，即50a≤时，函数图像如图所示，1234512345xyO由图像可得max()(5)2710fxfa．④当5a≥，即5a≤时，函数在区间[5,5]上是减少的，所以max()(5)2710fxfa；max27100()()27100aafxgaaa≥．（2）27．20．（本题12分）现有某种细胞100个，每小时分裂1次，每次细胞分裂时，占总数12的细胞由1个细胞分裂成2个细胞，另外12不分裂．按这种规律发展下去，最少经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（以整数个小时作答，参考数据：lg30.477，lg20.301）【答案】见解析．【解析】现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1131001002100222，2小时后，细胞总数为13139100100210022224，3小时后，细胞总数为191927100100210024248，4小时后，细胞总数为127127811001002100282816，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：31002xy，xN*，由103100102x，得83102x，两边取以10为底的对数，得3lg82x，∴8lg3lg2x，∵8845lg3lg20.4770.301≈，∴45.45x．答：经过46小时，细胞总数超过1010个．21．（本题12分）已知()fx为二次函数，且2(1)(1)24fxfxxx．（1）求()fx解析式．（2）判断函数()()fxgxx在(0,)上的单调性，并证之．【答案】见解析．【解析】（1）设2()(0)fxaxbxca，由条件得：222(1)(1)(1)(1)24axbxcaxbxcxx，从而2224220abac，解得：121abc，所以2()21fxxx．（2）函数()()fxgxx在(0,)上单调递增，理由如下：()1()2fxgxxxx，设任意1x，2(0,)x，且12xx，则1212121221111()()22()1gxgxxxxxxxxx，∵1x，2(0,)x，且12xx，∴120xx，12110xx，∴12()()0gxgx，即12()()gxgx，所以函数()()fxgxx在(0,)上单调递增．22．（本题14分）已知函数()22xxfx．（1）求方程()2fx的根．（2）若()3fx，求(2)fx．（3）若对任意xR，不等式(2)()6fxmfx≥恒成立，求实数m的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）方程()2fx，即222xx，亦即2(2)2210xx，所以2(21)0x，于是21x，解得0x．（2）2222(2)22(22)2327xxxxfx．（3）由条件知2222(2)22(22)2(())2xxxxfxfx．因为(2)()6fxmfx≥对于xR恒成立，且()0fx，所以2(())44()()()fxmfxfxfx≤对于xR恒成立．令4()()()gxfxfx，所以4m≤，故实数m的最大值为4．