-定积分定义

1第五章定积分第一节定积分的概念与性质引言定积分问题举例定积分的概念定积分的性质2axyo()yfx1ixix1()()iiifxx1x2x2nx1nx一、引言(),0,,yfxyxaxb1).曲边梯形的面积问题ix1ixibi3分割01211iinnaxxxxxxxb1iiixxx1,2,,in每个小梯形近似面积1iiiixx1,2,,in()iiiAfx整个曲边梯形近似面积11()nnniiiiAAfx精确面积max01lim()iniixiAfx曲边梯形面积的计算ix1ixi42）求非均匀分布的细棒质量oxab01lim()nkkkmx1kxkxk1ikkxxx设点x处的密度为()x分割：将细棒[a,b]分割成n个小段，每段长为1ikkxxx近似：每段内任取一点，用该点的密度近似代替该小段的均匀密度，()ikkmx和1()nkkkmx精5设函数()yfx在区间[a,b]上有界，（1)分割01211iinnaxxxxxxxb1iiixxx1,2,,in（2)近似i1iiixx1,2,,in()iiiSfx二、定积分的定义（3）求和1()nniiiSfx（4）精确001limlim()nniiiSfx如果该极限存在，则称此极限值为函数()fx在区间[a,b]上的定积分，记作()bafxdx即()bafxdx01lim()niiifxmaxiix6(1)max0iixn()bafxdxmax01()lim()inbiiaxifxdxfx为被积函数[,]ab为积分区间积分下限积分上限积分符号为积分变量反之不然0111(2)iinnaxxxxxxb1(3)iiixx注（4）()bafxdx()()bbaafuduftdt积分微元7充分条件定理如果被积函数()fx在积分闭区间[,]ab上连续，或者仅有有限个第一类间断点，则定积分()bafxdx必然存在。定积分存在的条件必要条件可积有界连续可积82）求非均匀分布的细棒质量1)曲边梯形的面积问题3）求变速运动的在[a,b]时间段的路程()baAfxdx()bamxdx()baSvtdt变（压）力Ｆ(x)所作的功()baWFxdx物体在水中所受的水压力ＰbaPgxdS微元面积x处的压强9（1）由定积分的定义可知，当()0,()fxaxb时，定积分()bafxdx,,0,xaxby和曲线()yfx围成的面积。xyab()yfxo()baAfxdx三、定积分的几何意义表示为A10()0fx[,]xabxyab()yfx()bafxdxA（3）ooxyb()yfx|()|baAfxdx（2）当aA1A2A3A41234()bafxdxAAAAA()()bbaafxdxfxdx11用定义计算定积分120xdx1ixn(1,)in（2）取右端点1212,,,,,1ininnnnn21()iiiiSfxnn13例1解1220[0,1]yxCxdx存在（1）等分1231101iinnnnnnn（3）211.nniiSnn（4）2max011.limliminnxniiSnn31(1)(21)lim6nnnnn31(1)(21)6nnnn12013xdx12oxy12yx1n2n1inin1nn2max011.limliminnxniiSnn13212011.limnniixdxnn112limsinsinsinnnnnnn11limsinnniinn10sinxdx22222111lim12nnnnnn2221111lim12111nnnnnn2111lim1nninin12011dxx14四、定积分的性质(2)()()baabfxdxfxdx(1)()0aafxdx(4)()d()dbbaakfxxkfxx(5)()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx(3)()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx(6)1badxba15(6)()0fx()0bafxdx()()fxgx()()bbaafxdxgxdx()()bbaafxdxfxdx(7),()abmfxM()()d()bambafxxMbad()ddbbbaaamxfxxMx16（8）中值定理()[,][,]fxCabab()dbafxxmMba()d[,]()bafxxabfba()()()bafxdxfba由连续函数的介值定理证()[,]fxCab()mfxMd()ddbbbaaamxfxxMxoxyab()ff(x)在[a,b]上的平均值17（9）广义中值定理(),()[,],()0(0),[,]fxgxCabgxab()()d()()dbbaafxgxxfgxx证()[,]fxCab()()()()gxmfxgxMgx()d()()d()dbbbaaamgxxfxgxxMgxx()()d()dbabafxgxxmMgxx()()d[,]()()dbabafxgxxabfgxx()mfxM()0gx18例4证明不等式22121(1)d512xxx210(2)1dxexe解221(1)12512xxx2()1xfxx222212()0(1)xxfxx222211121ddd512xxxxx22121d512xxx2(2)101xeex2101dxexe19例5判别积分的大小11200(1),xdxxdx2200(2),sinxdxxdx解2(1)01,xxx11200xdxxdx(2)0,sin2xxx2200sinxdxxdxoxy2yxsinyx20书面作业：P.2353，4，7，，10，13作业本作业：P.2355，11，12，21谢谢!