陕西省西安市长安区第一中学2019届高三数学上学期第二次检测试卷 文（含解析）

2019届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（文）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1．已知全集，集合，则等于A．B．C．D．2．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为A．B．C．D．3．要计算的结果，如图程序框图中的判断框内可以填A．n＜2017B．n≤2017C．n＞2017D．n≥20174．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则A．，y1＞y2B．，y1=y2C．，y1=y2D．，y1＜y25．已知，则的最小值为A．2B．4C．5D．76．已知函数给出下列两个命题，p：存在，使得方程f（x）=0有实数解；q：当时，f（f（1））=0，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．.7．已知na是公差为1的等差数列，nS为na的前n项和，若844SS，则10aA．172B．192C．10D．128．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A．B．C．D．9．如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为A．B．C．D．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，，则的解集为A．B．C．D．11．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是A．B．C．D．12．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题13．已知实数，满足不等式组且的最大值为_____．14．正项等比数列{an}中，，则的前9项和_____．15．面积为的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则=_____．16．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为_______．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，（1）求C；（2）若，且△ABC面积为，求的值．18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．（1）求证：平面平面；（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积。19．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人是“微信控”的概率．20．设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．21．已知函数,．（1）若和在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（2）令，若在定义域内有两个不同的极值点．①求a的取值范围；②设两个极值点分别为，证明：．22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.23．设函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.2019届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求得集合元素的取值范围，然后求的交集.【详解】对于集合，解集为，所以.所以选C.【点睛】本小题考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题.2．D【解析】【分析】首先利用复数乘法运算，化简复数，确定复数的实部和虚部，再根据复数在第四象限，列不等式组求解得的取值范围.【详解】依题意得，由于复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，故选D.【点睛】本小题考查复数乘法运算，考查复数与复平面内对应的点一一对应该的关系，还考查了不等式组的解法.属于基础题.3．B【解析】从算法流程图中提供的运算程序可知：当时，运算程序结束，所以判断框内应填，应选答案B。4．B【解析】【分析】分别计算甲、乙的平均数和中位数，由此得出选项.【详解】，故选B.【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数和中位数的计算，属于基础题，直接计算求得相应的结果，再进行比较即可.5．D【解析】，则，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）6．B【解析】【分析】通过分析命题和命题的真假性，来判断选项中含有逻辑连接词的命题的真假性.【详解】当时，，并且，故函数不存在零点，所以命题为假命题.当，时，，故命题为真命题.所以为真命题.故选B.【点睛】本小题考查了含有逻辑连接词的命题的真假性的判断，考查了函数零点问题的解决方法，还考查了分段函数和符合函数求值.属于中档题.7．B【解析】试题分析：由844SS得11828446adad，解得1101119,922aaa.考点：等差数列.8．D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D.考点：三视图.9．D【解析】【分析】设出等边三角形的边长，求得内切圆的面积，再利用几何概型的公式计算出概率.【详解】设等边三角形的边长为，则其面积为，内切圆的半径为，面积为，故概率为.故选D.【点睛】本小题主要考查等边三角形的面积公式，考查等边三角形内切圆的半径及面积，考查几何概型的计算公式.对于一个边长为的等边三角形来说，它的面积为，而等边三角形内切圆的半径为，外接圆的半径为，这些是知识点需要熟记下来.本小题属于基础题.10．A【解析】【分析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.11．C【解析】设椭圆右焦点为，则，当三点共线时，等号成立，所以的周长，此时，所以此时的面积为，故选择C.方法点睛：本题关键是通过图形分析，考虑到，当三点共线时，等号成立，这样就可以根据椭圆定义将周长转化为定值，这样就可以得出直线过右焦点，此时为通径，于是的面积易求.本题把直线与椭圆的位置关系巧妙的结合，考查学生分析问题，转化问题的能力.12．D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．13．3【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得的最大值．【详解】不等组对应的可行域如图所示，当动直线过是有最大值，由得，故，此时，填3．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．14．【解析】由题意得,当时,当时,所以或点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.15．【解析】【分析】先根据等边三角形面积求得边长.将用来表示，再代入求得相应的值.【详解】设等边三角形边长为，根据等边三角形面积公式，得.依题意得，所以.【点睛】本小题主要考查等边三角形的面积公式，考查向量数量积模的表示方法，将所求向量转化为已知向量来求解，属于中档题.16．【解析】【分析】画出几何体的图像，通过底面外心的且垂直于底面的垂线以及的垂直平分线，确定球心的位置，计算出球的半径，由此求得球的表面积.【详解】画出几何体的图像如下图所示，由于，所以三角形为等边三角形，设其外心为,则球心是过且垂直于底面的直线与线段的垂直平分线的交点处，如图所示.其中，故外接球的半径，外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查三棱锥的外接球表面积，考查了外接球如何确定球心的知识，考查了等边三角形的几何性质.要找到一个几何体外接球的球心，先在一个面上找到这个面的外心，球心就在这个外心的正上方，再结合另一个面的外心或者中垂线，由此确定外接球球心所在的位置.属于中档题.17．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用和差的正弦公式，即可求；（2）若，且面积为，求出，，三角形外接圆的直径，即可求的值.试题解析：（1）在中，由，可得，又.在中，由余弦定理可知，则，又，可得，那么.可得.由正弦定理.可得.18．(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由菱形的对角线相互垂直，得到.再根据平面得到，由此证得门票，进而证得平面平面.（2）通过转化顶点，，由于是的中点，故几何体的高为的一半.由此求得几何体的体积.【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形是菱形，∴.又∵平面，平面，∴．又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查几何体体积的求法.要证明面面垂直，则需要在一个平面内，找到一条和另一个平面垂直的直线，也即是先证明线面垂直.要求三棱锥的体积，往往是换顶点找高，有能够直接利用上的高，就转化为那个方向来求几何体的体积.属于基础题.19．（1）见解析；（2）3,2；（3）.【解析】【分析】（1）列出联表，计算,所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）由图表可知，在名女性用户中，微信控有人，非微信控有人.（3）利用列举法，列举出位女性任选人的基本事件，由此求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.【详解】（1）由列联表可得：所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人.（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，