陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）

陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）满分：120分时间：120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数yx是同一个函数的是（）．A．2()yxB．33()yxC．2yxD．2xyx【答案】B【解析】解：yx的定义域为R，对应法则是“函数值与自变量相等”．选项A：2,0||,0xxyxxxx≥；选项B：2xyx的定义域为|0xx；选项C：33yxx；选项D：2()yx的定义域为[0,)．故选B．2．若一次函数ykxb在R上是增函数，则k的范围为（）．A．0kB．0k≥C．0kD．0k≤【答案】A【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数()fxkxb在R上是减函数，0k．故选A．3．已知集合A满足1,2,31,2,3,4A，则集合A的个数为（）．A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】解：∵1,2,31,2,3,4A，∴4A，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，则集合A的个数为8．故选B．4．函数2()=1fxx在[2,0]上的最大值与最小值之差为（）．A．83B．43C．23D．1【答案】B【解析】解：∵2()logfxx在区间[2,2]a上为单调增函数，由题可得：221log(2)log22a，∴221log22a，∴2a，点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法：（1）直接利用基本初等函数的单调性．（2）利用定义判断函数的单调性．（3）求导得函数单调性．故选B．5．如图是①ayx；②byx；③cyx，在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为（）．A．abcB．abcC．bcaD．acb【答案】D【解析】解：1Oyx①②③16．已知函数2()8fxxkx在[1,4]上单调，则实数k的取值范围为（）．A．[2,8]B．[8,2]C．(,8][2,)D．(,2][8,)【答案】D【解析】解：二次函数2()28fxxkx的对称轴为4kx，∵函数2()28fxxkx在区间[1,2]上不单调，∴124k，得48k．故选B．7．已知函数()fx是奇函数，在(0,)上是减函数，且在区间[,](0)abab上的值域为[3,4]，则在区间[,]ba上（）．A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值3D．有最小值3【答案】B【解析】解：由于()fx是奇函数，在(0,)上是减函数，则()fx在(,0)上也是减函数，在区间[,](0)abab上的最小值为3，最大值为4，由于区间[,]ba与[,]ab对称，则可知()fx在[,]ba上最大值为3，最小值为4．借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示：Obayxab34348．设0.60.6a，1.50.6b，0.61.5c，则a，b，c的大小关系是（）．A．abcB．acbC．bacD．bca【答案】C【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。设()0.6xfx，()1.5xgx，因为0.61，故()fx在R上单调递减，又因为当0x时，()1fx，所以1.50.50.60.61，因为1.51，故()gx在R上单调递增，又因为当0x时，()1gx，所以0.61.51，所以bac．故选C．9．设xR，定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则（）．A．|sgn|xxxB．sgn||xxxC．||||sgnxxxD．||sgnxxx【答案】D【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质。已知,0||0,0,0xxxxxx，故AB项错误；,0||sgn0,0,0xxxxxxx，故C项错误；D项正确．故选D．10．若在定义域内存在实数0x，满足，则称()fx为“有点奇函数”，若12()423xxfxmm为定义域R上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（）．A．1313m≤≤B．1322m≤≤C．2222m≤≤D．2213m≤≤【答案】D【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可以知道，函数()()fxfx有解即可，即1212()423(423)xxxxfxmmmm，∴2442(22)260xxxxmm，即(22)2xxm，2(22)280xxm有解即可，设22xxt，则222xxt≥，∴方程等价为22tm，2280tm在2t≥时有解，设2()2gttm，228tm，对称轴22mxm．（1）若2m≥，则2244(28)0mm≥，即28m≤．∴2222m≤≤，此时222m≤≤．（2）若2m，要使22tm，2280tm，在2t≥时有解，则2(2)mf≤0≥0，即213132323mmm≤≤≤≤，计算得出132m≤≤，综上：1322m≤≤．故选D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．若函数2(4)()1(4)xxfxxx≥，则[(3)]ff__________．【答案】16【解析】解：∵函数2(4)()1(4)xxfxxx≥，∴(3)314f，∴4[(3)](4)216fff．12．设函数24yx的定义域为A，函数ln(1)yx的定义域为B，则ACBR__________．【答案】[2,1)【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质．由240x≥得[2,2]A，由10x得(,1)B，所以[2,1)AB．13．方程23xxk的解都在[1,2]内，则k的取值范围为__________．【答案】5【解析】解：令函数3(2)fxxxk，则()fx在R上是增函数．当方程23xxk的解在(1,2)内时，(1)(2)0ff，即5)10(()0kk，解得510k.当(1)0f时，5k．14．已知函数1()log1axfxx（0a且1a）有下列四个结论：①恒过定点；②()fx是奇函数；③当1a时，()0fx的解集为|0xx；④若m，(1,1)n，那么()()1mnfmfnfmn．其中正确的结论是__________．（请将所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①④【解析】解：①2xya的图像可由xya的图像向左平移2个单位得到，①正确；②2xy与2logyx互为反函数，所以的图像关于直线yx对称，②错误；③由255log(21)log(2)xx，得2221020212xxxx，即122213xxxxx，计算得出3x，所以③错误；④设()ln(1)ln(1)fxxx，定义域为(1,1)，关于原点对称，()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()fxxxxxfx，所以()fx是奇函数，④正确，故正确的结论是①④．三、解答题：（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）2253105330.0643π8．（2）222(lg2)lg2lg5(lg2)lg21．【答案】见解析．【解析】解：（1）原式111121433433144433333101(3)(3)10301021033．（2）原式221112lg2lg2lg5lg2lg2122222111(lg2)lg2lg5lg212222111(lg2)lg2lg51lg222211lg2(lg2lg5)1lg2221．16．（本小题满分8分）已知函数1()2axfx，a为常数，且函数的图像过点(1,2)．（1）求a的值．（2）若()42xgx，且()()gxfx，求满足条件的x的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由已知得122a，计算得出1a．（2）由（1）知1()2xfx，又()()gxfx，则1422xx，即112042xx，即2112022xx，令12xt，则220tt，即(2)(1)0tt，又0t，故2t，即122x，计算得出1x，满足条件的x的值为1．17．（本小题满分8分）已知集合2(,)|1Axyyxmx，(,)|3,03Bxyyxx≤≤．（1）当4m，求AB．（2）若AB是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组．（2）要使AB是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y或x后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在[0,3]内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在[0,3]内．解析：（1）24113203yxxxyxyx≤≤，所以(1,2)AB．（2）213yxmxyx消去y整理可得2(1)40xmx，因为AB是只有一个元素的集合，即此方程在[0,3]只有一个根，所以2(1)1601032mm≤≤或2(1)160(0)(3)0mff≤，解得3m或103m≥．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()fx在[,]()mnmn上的最小值t，若tm≤恒成立，则称函数()fx在[,]()mnmn上具有“GX”性质．（1）判断函数2()22fxxx在[1,2]上是否具有“GX”性质？说明理由．（2）若2()2fxxax在[,1]aa上具有“GX”性质，求a的取值范围．【答案】见解析．【解析】解（1）∵2()22fxxx，[1,2]x，∴min()11fx≤，∴函数()fx在[1,2]上具有“GX”性质．（2）2()2[,1]fxxaxxaa，其对称轴为2ax．①当2aa≤即0a≥时，22min()()22fxfaaa，若函数()fx具有“GX”性质，则有2a≤总成立，即2a≥．②当12aaa时，即20a时，2min()224aafxf，若函数()fx具有“GX”性质，则有224aa≤总成立，计算得出：a．③当12aa≥时，即2a≤时，min()(1)3fxfaa，若函数()fx具有“GX”性质，则有3aa≤，计算得出：a．综上所述：若函数()fx在[,1]aa上具有“GX”性质，则有2a≥．19．（本小题满分10分）已知函数2()32logfxx，2()loggxx．（1）当[1,4]x时，求函数()[()1]()hxfxgx的值域．（2）如果对任意的[1,4]x，不等式2()()()fxfxkgx恒成立，求实数k的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）2222()(42log)log2(log1)2hxxxx，因为[1,4]x，所以2log[0,2]x，故函数()hx