弹塑性问题的有限单元法

第四章弹塑性问题的有限单元法第一节应力与应变分析第二节岩土介质弹塑性本构关系第三节非线性问题的有限元解法主要内容资源与地球科学学院线弹性材料（ElasticMaterial）在外力作用下，材料的应力应变呈线性关系，并且在某一应力水平卸载后，材料恢复到原来的状态，即变形为零。Elasticimpliesthattheelementwillreturntoit'soriginalsizeandshapeonceallappliedloadsareremoved,ifnotstressedpastit'syieldpoint(y).资源与地球科学学院岩土体材料（RockandSoil）岩土体不是完全的线弹性体，应力应变很少呈线性关系，且当外力消除以后，往往有不可恢复的塑性变形。因此，本章考虑材料的非线性，主要讨论岩土体的弹塑性模型。Ifstressedpastit'syieldpoint(plasticrange),thematerialwilltakeapermanentsetandwillnotfullyreturntoit'soriginalsizeandshape,whenallloadsareremoved.资源与地球科学学院第一节应力与应变分析一、一点的应力状态与应力张量二、应力张量的分解三、应力不变量四、主应力空间、平面与罗德（Lode）角五、应变张量主要内容：资源与地球科学学院一、一点的应力状态与应力张量应力张量可以采用分量记法，即用矩阵或张量下标表示Tzyxx任一点的6个应力分量：{σ}=[σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz］Tijzzyzxyzyyxxzxyx（3-1）式中i,j=x,y,z资源与地球科学学院张量引入张量：0阶张量：30＝11阶张量：31＝32阶张量：32＝93阶张量：33＝27应力和应变是二阶张量标量矢量资源与地球科学学院用二阶张量在x,y,z坐标系表示zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx或写成：资源与地球科学学院矩阵记法分量记法说明了张量的分量与坐标系的选取有关。ijzzyzxyzyyxxzxyx（3-1）张量下标记法式中i,j=x,y,z应当注意：张量分量的矩阵记法与二维数组的区别。应力张量可以用其分量表示成3×3的对称方阵，而写成矩阵形式3×3的二维数组却不一定是张量，更不一定是应力张量，只不过是按一定顺序排列的数组而已。资源与地球科学学院二、应力张量的分解张量可以合成和分解应力张量分解为球张量和偏张量=+xyzxyyzzxxyyzzxzsxsys)(31zyxmmmzzyzxyzyyxxzxyx=mmm000000+zzyzxyzyyxxzxyxsssssssss)(31zyxmp),,(,zyxssxyxymxx资源与地球科学学院zzyzxyzyyxxzxyx=mmm000000+zzyzxyzyyxxzxyxsssssssss)(31zyxmp),,(,zyxssxyxymxx（3-2）物理意义应力张量的球张量分量——作用在该点的平均应力(σm)或静水压力(p)应力张量的偏斜分量——作用在该点的偏应力(si)和剪应力(sij)(i≠j)。资源与地球科学学院张量分解在塑性理论中的意义在弹性力学中，应力球张量只产生弹性应变(应变球张量)，应力偏张量只产生弹性剪应变(应变偏张量)，本构关系非常简单。在金属塑性理论中假设体应变为弹性的，故体应变只有弹性分量而与塑性无关，剪应变有塑性分量。将应力分解为球张量与偏张量，不仅使它们与体应变和剪应变之间的关系相互对应，而且可以简化本构关系的分析。即使在应力球张量与偏应变、应力偏张量与体应变发生耦合作用的岩土塑性本构关系理论中，将应力分解为球张量与偏张量，也便于分析它们对塑性体应变与剪应变的各自影响，从而建立相应的本构关系。资源与地球科学学院三、应力不变量应力张量的分量表示法与坐标轴的选取有关，当进行一点应力状态分析或建立弹塑性本构关系时，如果能够找到与坐标系选取无关的应力不变量来表示，则将会简捷得多。下面就寻找这样的不变量。资源与地球科学学院（一）应力张量不变量在弹性力学中已经证明，通过一点可以找到相互垂直的三个主平面，在这些面上的剪应力为零。主平面上作用的正应力就称为主应力。主平面的方向称为主方向。对于一定的应力状态而言，主应力和主方向是不变的。资源与地球科学学院现在直角坐标系中取一四面体，设斜面ABC是主平面，则作用于该面的法向应力即为主应力，如图3-2所示。nmlpxzxyxxnmlpyzyyxynmlpzzyxzz（3-3）又设l、m、n代表主应力的方向余弦，l=cos(x，N)，m=cos(y，N)，n=cos(z，N)则主应力{σ}在三个坐标轴上的投影为px=σl,py=σm,pz=σn平衡方程ABOxyz{}NC图3-2四面体应力资源与地球科学学院要使l、m、n有非零解，则必有0)(nmlxzxyxnmllxzxyx0)(nmlyzyyxnmlmyzyyx0)(nmlzzyzxnmlnzzyxz1222nml0zzyzxyzyyxxzxyxzyxI12222)(zxyzxyxzzyyxI2232xyzyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxI032213III（3-5）资源与地球科学学院式(3-5)的三个根即为主应力σ1、σ2、σ3。该点的主应力值不会因坐标选择而改变，因而I1、I2、I3的值也是不会改变的，它们分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。如果坐标轴方向与主应力方向一致，则（无剪应力）I1=σ1+σ2+σ3I2=-(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)I3=σ1σ2σ3(3-6)032213III（3-5）zyxI12222)(zxyzxyxzzyyxI222xyzyzxzxyzxyzyx资源与地球科学学院（二）应力偏张量不变量应力偏张量Sij也有三个不变量J1=sx+sy+sz=0J2=-(sxsy+sysz+szsx)+s2xy+s2yz+s2zx=1/6(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σz-x)2+6(τ2xy+τ2yz+τ2zx〕=1/2(s2x+s2y+s2z)+s2xy+s2yz+s2zxJ3=sxsysz+2sxysyzszx-sxs2yz-sys2zx-szs2xy(3-7)式中J1、J2、J3分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变量。),,(,zyxssxyxymxx资源与地球科学学院J1=0J2=-(s1s2+s2s3+s3s1)=1/6[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]J3=s1s2s3资源与地球科学学院应力张量不变量I1、I2、I3应力偏张量不变量J2、J3、(J1=0)在研究岩土弹塑性问题时我们更关注其中的I1、J2、J3这是因为I1只与平均应力σm或静水应力p有关，而J2反映剪应力的大小，J3表示剪应力资源与地球科学学院四、主应力空间、罗德角假设：岩土体为各向同性体，因此主应力的作用方向就无关紧要，通常只要研究作用在一点的主应力大小就可以了。三个主应力正好可以用三维空间来直观地描述。以三个主应力为轴而组成的笛卡尔空间坐标系就称为主应力空间，如图所示。123资源与地球科学学院123线rOQ’Q平面）偏平面（以主应力表示的物体中一点的应力状态在主应力空间中对应一个点Q(σ1，σ2，σ3)。原点O与Q的连线OQ称为该点的应力矢量，它代表着岩土体中相应点的•在主应力空间中，与三个坐标轴成相等倾角的线称为λ线(等压线）。λ线的方程可以表示为•σ1=σ2=σ3(3-8)资源与地球科学学院123线OQ’Q平面）偏平面（偏平面(π′)的方程为3321式中ρσ—(3-9)而π平面的方程为0321为了确定偏剪应力的方向引入罗德角θσ的概念。M'1'2'3O’偏剪应力与O′M线的夹角就定义为罗德角，规定顺时针（-），逆时针（+）。这样θσ就代表偏剪应力在偏平面上的作用方向。r资源与地球科学学院与等压线相正交的平面称为偏平面，通过坐标原点与等压线相正交的平面称为π平面。可见π平面是一个特殊的偏平面。由偏平面的定义可知，在一个偏平面内平均应力为常量，故偏平面的方程为：偏平面与原点的距离式中3321（3-9）资源与地球科学学院123线rOQ’Q平面）偏平面（将应力空间中代表一点应力状态的应力分量OQ向偏平面和等压线上投影，即可得到作用在偏平面上的正应力分量ρσ和偏剪应力分量rσ所以应力空间中任一点的应力状态可以用偏平面上的应力来表示。资源与地球科学学院可以证明)103(2333sin323JJ范围内变化。在6~6mmmJ)32sin(sin)32sin(322321(3-11)同样可以证明正应力和应力不变量σm、J2及θσ的资源与地球科学学院五、应变张量对于连续变形体来说，应力与应变是对偶的，即有应力就必然产生应变，有应变就必然产生应力。应力和应变都属于二阶对称张量。从张量的角度分析，它们有许多相似之处。例如它们都可以分解为球张量与偏张量，都具有不变量等。资源与地球科学学院zxyzxyzyxzxyzxyzyx212121、、、、、分量为相对应的应变、、、、、与应力分量一点的应变状态可以用几个应变分量描述，一般可以用应变张量表示：zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij212121212121ijijijijji＝２的关系为：变为工程应变，它与剪应式中)(资源与地球科学学院300Х0.025模拟软、硬顶板下开采煤层底板的变形和受力情况两侧各留80m，开采120m，分6步开挖完毕实例分析（用ADINA软件）7.5MPa280m2m60m60m煤层底板顶板资源与地球科学学院岩性E（MPa）μρ（kg/m3）φ（0）C（MPa）σt（MPa）硬顶356000.2026504112.706.21软顶27000.232100408.131.80软煤15000.381300201.200.64软底29000.242600408.621.93资源与地球科学学院资源与地球科学学院010203040506070061218243036424854竖直应力/MPa深度/m硬顶软顶（a）不同顶板岩性对底板竖直应力的影响资源与地球科学学院0102030405060700369121518最大剪应力/MPa深度/m硬顶软顶（c）不同顶板岩性对底板最大剪应力的影响资源与地球科学学院第二节岩土介质弹塑性本构关系一、岩土介质本构关系基本类型二、增量塑性理论简介三、常用的弹塑性模型主