弹塑性力学问题的变分原理与变分法

第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法引言基本概念基于位移的变分原理基于应力的变分原理基于位移变分原理的直接解法基于应力变分原理的直接解法2021/4/131第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法弹塑性力学问题的提法及解法：（1）微分提法及其解法（2）变分提法及其解法2021/4/132微分提法——微分单元体平衡关系平衡微分方程几何关系几何方程(Cauchy方程)广义胡克定律线弹性体物理(本构)关系增量形式(如Prandtl-Reuss关系)全量形式(如依留申关系)理想弹塑性体基本方程+边界条件位移解法应力解法微分边值问题引言第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法2021/4/133变分提法——整个固体系统泛函变分方程+约束条件欧拉解法直接解法(近似解法)泛函极值问题系统能量关系能量原理能量法欧拉解法直接解法(近似解法)——以欧拉为代表，它是一种把变分问题转化为对应的微分边值问题来求解的方法。——直接求解变分问题的各种近似解法Ritz法迦辽金法引言变分原理变分法第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/134弹塑性力学问题的基本关系可分为三类：（1）变形几何关系包括几何方程和位移边界条件，反映固体连续性要求。在变形几何关系中，只出现几何量，而与力学量无关。（2）静力（平衡）关系包括力平衡方程和力边界条件，反映固体平衡要求。在静力关系中，只出现力学量，而与几何量无关。（3）物理（本构）关系即物理方程或本构方程，反映材料固有的力学性质。本构关系建立了力学量与几何量之间的联系。在能量原理中，同时满足弹塑性力学全部基本关系的广义应力状态或广义变形状态——真实状态仅满足部分基本关系的广义应力状态或广义变形状态——可能状态第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/135在经典的变分原理（能量原理）里，通常用到两类可能状态：(1）变形可能状态（或运动可能状态）：仅满足变形几何关系的广义变形状态。变形可能状态有无穷多个，其中只有一个状态能同时满足弹塑性力学的全部基本关系——固体的真实变形状态。真实变形状态是由固体所受的外部因素（荷载、温度变化）作用引起变形可能状态则与固体所受的外部因素没有必然的因果关系(2）静力可能状态：仅满足静力关系的广义应力状态，静力可能状态也有无穷多个。第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/136由变形可能状态出发虚位移虚位移——从某一几何可能的位移状态变化到无限临近的另一几何可能的位移状态这一微小的位移变化。数学上：虚位移——几何可能的位移函数在无限邻域的变化，即几何可能的位移函数的变分，记作。虚位移的特点：任意的、微小的、与荷载作用无关iu第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/137()()()()()()()()()()()()()()()xyzxyyzzxuuxxvvyywwzzvuvuxyxywvwvyzyzwuwuxzxz在小变形的条件下，根据虚位移的定义，有,,1()2ijijjiuu第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/138000uvw0iu在给定位移的固体表面上，虚位移还满足以下的边界条件：（在上）uS（在上）uS第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/139从静力可能状态出发虚应力虚应力——从某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一静力可能的应力状态这一微小的应力变化。数学上：虚应力——静力可能的应力函数的变分，记作虚应力具有任意的、微小的、与变形无关的特点。ij第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——真实状态与可能状态2021/4/1310在给定应力的固体表面上，满足边界条件：123123123000xxyxzyxyyzzxzyzlllllllll（在上）S0ijjl（在上）S()()()0()()()0()()()0xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz,0ijj虚应力应满足平衡微分方程：第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——弹性系统的应变余能2021/4/1311ijijijU)(0)(0ijU弹性应变比能函数)(0ijU定义状态函数ijijU0ijijijijU00d)(积分弹性应变余能密度函数（应变余能）线弹性材料：ijijUU2100应变余能与应变能的区别：应变能有明确的物理意义，表示固体受力变形后存储在内部的能量应变余能没有明确的物理意义，仅是为了处理问题方便而引进的概念第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基本概念——弹性系统的应变余能2021/4/13122）应变余能的自变量为应力张量分量'0000()()ijijijijijijijijijijijijUddU'0012ijijUU对应变余能，强调3点：1）应变余能和应变能对全功是互补的ijijij3）对于线性弹性体，应变余能和应变能在数值上相等第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1313考虑一个在外力作用下处于平衡状态的变形体，设其体积为V，表面积为S，受体力(X,Y,Z)和面力作用。(,,)XYZ变形体在其平衡位置发生了虚位移ui，则在变形体的虚位移过程中，外力（实际力系）在虚位移上所作的功（虚功）就等于变形体的总虚应变能。虚位移原理（虚功原理）：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给定物体微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1314iiiiijijVSVWXudVXudSUdV位移变分方程虚位移原理的证明iiiiVSWXudVXudSijjilX0iu（在上）S及（在上）uS()iiijijVSWXudVuldS()()()VSxxyyzzxyxyyzyzzxzxVWXuYvZwdVXuYvZwdSUdV第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1315,,,()()iiijijVViijjiijijVVWXudVudVXudVudV,,,11()22ijijijijjiijijuuuijijVWdVU散度定理,0ijjiX以及有原理得证。（平衡状态）第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1316关于虚位移原理，需要强调指出以下几点：1）虚位移原理是一个普遍适用的原理，即对于弹性体、弹塑性体等都是适用的。2）可以证明，外力的总虚功与总虚应变能相等实质上是物体处于平衡状态的充分和必要条件。这就是说，若把位移变分方程作为前提，则可以导出平衡微分方程和静力边界条件：,0ijjiX0ijjinX（在上）S位移变分方程平衡微分方程和静力边界条件在应用虚位移原理求解时，所选取的位移函数就无需验证是否满足平衡微分方程和静力边界条件，而只须满足变形几何方程及位移边界条件。第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/13173）在位移变分方程中，外力是实际的体力和面力，而应力则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中，对应力，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。iXiXij第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1318【例1】如图所示简支梁，设在距梁左端a处作用一集中力P，试求梁的挠度，并求出当a=l/2时梁跨中的挠度值。【解】建立直角坐标系，在该坐标系里，位移边界条件可写成00xxlww第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1319若选取梁的挠度函数w为1sinnnnxwal所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。1sinnnnxwal1sinxannnaWPwPal虚位移总虚功一阶变分第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1320242422301()24lnnEIdwEIUdxnadxl443112nnnnnnUEIUanaaal44311sin2nnnnnEInanaaPall忽略剪切变形，梁体内的总应变能：虚位移原理UW令3442sinnnaPllaEIn4431(sin)02nnnEInanaPall或改写成3441sinsin2()nnanxPlllwnEI第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——虚位移原理2021/4/1321此时，梁跨中截面的挠度为33/2444211(1)3548xlPlPlEIEI3/242xlPlEI这个结果与微分解法求得的精确解完全相同。当挠度级数只取一项时，有与精确解相比，误差仅为1.5%。123441,3,5,(1)sin2()nnnxPllwnEI当a=l/2时，由上式可得梁的挠度解为第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——最小势能原理2021/4/1322从位移变分方程出发，可以推出最小势能原理设ui为物体内的真实的位移场，和分别表示真实的位移场和应变场的变分，则由Green公式，有iuij00()ijijijijijUU0iiiiVSVXudVXudSUdV代入位移变分方程ijijijU)(0第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——最小势能原理2021/4/13230P0[()]0iiiiVVSUdVXudVXudS0()PiiiiVVSUdVXudVXudS令可以证明，如果变形体处于稳定的平衡状态，则与真实的位移场相应的总势能为最小值。总势能由于虚位移与真实的外力作用无关可假设在虚位移过程中，外力的大小和方向都保持不变，只是作用点有了变化。真实的位移场使系统的总势能取驻值(位移分量函数的泛函)第九章弹塑性力学问题的变分原理与变分法基于位移的变分原理——最小势能原理2021/4/1324最小势能原理：在所有几何可能的位移场中，真实的位移场使处于稳定平衡状态的物体的总势能取最小值。•最小势能原理适用于线性和非线性弹性体。•对于弹塑性体：在应变沿应变极值路径变化时，全量理论的最小势能原理仍然成立。•由于最小势能原理是由虚位移原理导出的，所以，关于位移变分方程等价于平衡微分方程和静力边界