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陕西省西安电子科技大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数的最小值为A.6B.7C.8D.232.已知点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，则a取值范围（）A.B.C.D.3.设a，b为实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A.6B.C.D.84.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.5.若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A.B.C.3D.46.不等式的解集是（）A.B.C.D.7.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()A.B.C.D.8.若函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（）A.B.C.D.9.在△ABC中，内角B=60°，边长a=8，b=7，则此三角形的面积为（）A.B.C.或D.或10.若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形11.如果数列{an}的前n项和Sn=an-3，那么这个数列的通项公式是（）A.B.C.D.12.正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6二、填空题（本大题共4小题）13.若x、y满足，则的最大值是______．14.已知-＜α＜β＜π，则的取值范围是______．15.已知三角形的三边为a，b，c和面积S=a2-（b-c）2，则cosA=______．16.数列{an}中，a1=2，an+1-an=2n，则数列的通项an=______．三、解答题（本大题共5小题）17.解不等式（1）解关于x的不等式x2-（3+a）x+3a＞0；（2）＜2．18.已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．20.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？21.已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．答案和解析1.【答案】B【解析】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选：B．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．2.【答案】C【解析】解：∵点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，∴（-3+2-a）（9-3-a）＞0，化为（a+1）（a-6）＞0，解得a＜-1或a＞6．故选：C．由于点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，可得（-3+2-a）（9-3-a）＞0，化为（a+1）（a-6）＞0，解出即可．本题考查了线性规划的有关知识、一元二次不等式的解法，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2=2，又由a+b=3，则，故选：B．根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2=2，结合题意a+b=3，代入可得答案．本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件4.【答案】B【解析】解：取a=1且b=4，计算可得=2，=，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B举特值计算，排除选项可得．本题考查特值法比较式子的大小，属基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x-2++2≥4当x-2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题．本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解．【解答】解：∵不等式，∴x≠1，排除B；由x=0符合可排除C；由x=3排除A，故选D．7.【答案】A【解析】解：令f（x）=x2+（m-2）x+5-m，其对称轴方程为x=由已知方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，故有即解得-5＜m≤-4m的取值范围是（-5，-4]故应选A．方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m-2）x+5-m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查知道了一元二次方程根的特征，将其转化为方程组解参数范围的能力，本题解题技巧是数形结合，借助图象转化出不等式组，此是这一类题的常用方法．8.【答案】C【解析】解：f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，即（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3＞0（*）恒成立，（1）当a2+4a-5=0时，可得a=-5或a=1，若a=-5，（*）式可化为24x+3＞0，不恒成立；若a=1，（*）式可化为3＞0，恒成立；（2）当a2+4a-5≠0时，可得a≠-5且a≠1，由题意可得，，即，解得1＜a＜19；综上所述，a的取值范围是：[1，19），故选C．由题意可得（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3＞0恒成立，按照a2+4a-5=0①，a2+4a-5≠0②两种情况进行讨论，情况①可求得a值，然后代入不等式检验即可；情况②可等价转化为不等式组解决．本题考查二次函数的性质及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，属基础题．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，b=7，a=8，B=60°，∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，即49=c2+64-2×c×8×cos60°，整理得c2-8c+15=0，∴解得c=3或c=5，∴△ABC的面积为S=acsinB=6或10．故选：C．根据题意，利用余弦定理算出c的值，再由三角形的面积公式即可算出△ABC的面积．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0，∴A-B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用数列中an与Sn关系求数列通项，考查通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，由累乘法求通项公式即可．【解答】解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，化简整理，由累乘法可知通项公式an=6×3n-1=2×3n．故选D．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，∴3x+4y=（)（3x+4y）=+++≥+2=5，当且仅当=时取等号，∴3x+4y≥5，即3x+4y的最小值是5，故选C．13.【答案】3【解析】解：先根据约束条件画出可行域，设，将z转化区域内的点Q与点P（1，1）连线的斜率，当动点Q在点A（2，4）时，z的值为：，最大，最大值3故答案为：3．先根据约束条件画出可行域，设，利用z的几何意义求最值，只需求出区域内的点Q与点P（1，1）连线的斜率的取值范围即可．本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．14.【答案】【解析】解：∵-＜α＜π，-＜β＜π，∴-π＜-β＜∴，又∵α＜β，∴α-β＜0，∴，．∴的取值范围是．故答案为：．由-＜α＜β＜π，可得，即可得出的取值范围．本题考查了不等式的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意得，bcsinA=a2-b2-c2+2bc=-2bccosA+2bc，所以sinA+4cosA=4，又因为sin2A+cos2A=1，解得cosA=；故答案为：．利用三角形得面积公式以及余弦定理结合三角函数得平方关系可得；本题考查了三角形得面积公式、余弦定理以及三角函数公式，关键是熟练运用各公式解答．16.【答案】2n【解析】解：∵a1=2，an+1-an=2n，∴a2-a1=2，a3-a2=22，…an-an-1=2n-1，相加得：an-a1=2+22+23+…+2n-1，an=2n，故答案为：2n．运用累加法求解：an-a1=2+22+23+2…+2n-1即可得到答案．本题考查了数列的函数性，等比数列的求和公式，属于中档题．17.【答案】解：（1）由x2-（3+a）x+3a＞0得，（x-3）（x-a）＞0，①当a＜3时，x＜a或x＞3，不等式解集为{x|x＜a或x＞3}；②当a=3时，不等式为（x-3）2＞0，不等式解集为{x|x∈R且x≠3}；③当a＞3时，x＜3或x＞a，不等式解集为{x|x＜3或x＞a}．（2）∵x2+x+1＞0恒成立，∴由得，x2-2x-2＜2（x2+x+1），整理得，x2+4x+4＞0，解得x≠-2，∴原不等式的解集为{x|x≠-2}．【解析】（1）由原不等式可得（x-3）（x-a）＞0，从而讨论a与3的大小关系，根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）可由原不等式得出x2-2x-2＜2（x2+x+1），解该一元二次不等式即可．本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）当a=4时，f（x）==x++2≥2+2=6，（当且仅当x=2时取得相等），即函数最小值为6；（2）f（x）＞0即x++2＞0对任意x∈[1，+∞），恒成立，即a＞-x（x+2）a＞-（x+1）2+1，令g（x）=-（x+1）2+1，g（x）的最大值为当x=1时取得，为g（1）=-3所以有a＞-3．【解析】（1）将a=4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）将恒成立问题转化为最值问题求解，本题考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型．19.【答案】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC-b-c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA-cosA=1∴sin（A-30°）