极坐标与参数方程中的轨迹问题专题训练

极坐标与参数方程中的轨迹问题（含答案）该类问题在高考中比较常见题型，但是学生掌握得比较差，在高考中得分率较低。有的学校由于复习时间限制，往往把宝压在第22题，而不讲“不等式选讲内容”，这是不可取的策略，例如2017年的全国3卷22题的第一问，很多同学无法拿下；还有2018年全国3卷的第二问，很多同学不会做。究其原因，是学生对此类题型不理解解题思路，平时练得少造成。下面就全国卷在第22题对轨迹问题的考察进行归纳总结，并配相应练习，让学生通过举一反三的练习突破该难点。类型一：轨迹的参数方程例1．（2017全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2+xtykt（t为参数），直线2l的参数方程为2xmmmyk（为参数）．设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3cossin20l：，M为3l与C的交点，求M的极径．解：⑴将参数方程转化为一般方程1:2lykx①21:2lyxk②①②，消k可得224xy，即点P的轨迹方程为224xy0y．⑵将极坐标方程转化为一般方程3:20lxy，联立22204xyxy，解得32222xy．由cossinxy，解得5，即M的极半径是5．点评：本题大部分学生的问题是得到①式和②式后不懂得如何处理，k变化时两条直线位置发生变化，从而生成点P的轨迹，因此，k就是点P参数方程的参数，得到①式和②式后消去参数k就得到点P的轨迹方程．例2．（2018全国3卷）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）方法1：的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．（其中，还可以这样求：因为直线AB的方向向量sin,cose，sin2,cosppttOP，由0sin,cossin2,cospptteOP，得）方法2：设直线l的方程为2kxy，2211,,,,,yxByxAyxP,则222121yyyxxx，由2122kxyyx得，0122122kxxk，所以122221kkxx，同理可得122221kyy，所以点的轨迹的参数方程是,11,121222kkkykkx为参数，，当k不存在时对应的点P也在曲线上．点评：本题大部分学生的问题是不清楚形成点P的轨迹的是参数t还是(或k)的变化，所以设直线参数方程后找不到方向．显然，定t变时直线不动，只是直线上的对应点动，而变时直线位置发生变化，从而生成点P的轨迹，因此，(或k)就是点P参数方程的参数，因此要消去t而保留．强化训练：1．已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．1．解：（1）由题意有，2cos,2sin,2cos2,2sin2PQ，因此coscos2,sinsin2M，M的轨迹的参数方程为coscos2sinsin2xy（为参数，02）．（2）M点到坐标原点的距离为2222cos02dxy，当a时，0d，故M的轨迹过坐标原点．2．已知直线：，圆：．（1）当=时，求与的交点坐标：（2）过坐标原点O做的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．2．解：（1）当3时，1C的普通方程为3(1)yx，2C的普通方程为221xy．联立方程组解得1C与2C的交点为1,0，13(,)22．（2）1C的普通方程为sincossin0xy．A点坐标为2(sin,cossin)aaa，故当a变化时，P点轨迹的参数方程为21sin21sincos2xayaa（a为参数）P点轨迹的普通方程为2211()416xy，故P点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．3．已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程．3．解：（1）直线l的普通方程为ymx，圆C的普通方程为2211xy，圆心0,1C到直线l的距离211dm，相交弦长为22212211rdm，令21121m，解得1m或1m．即实数m的取值范围为,11,．（2）设cos,1sinP，,Qxy，则由线段的中点坐标公式，得cos22{1sin2xy（为参数），消去参数并整理，得2222211xy，即线段PA的中点Q的轨迹方程为2211124xy．4．在平面直角坐标系xOy中，已知(01)A，，(01)B，，(0)Ct，，30Dt，，其中0t．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．4．解：直线的方程为，①直线的方程为，②2分由①②解得，动点的轨迹的参数方程为（为参数，且），6分将平方得，③将平方得，④8分由③④得，．10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“”扣1分．）AC1xytBD13xytP2226333txttyt，t0t263txt222236(3)txt2233tyt2222233tyt221(0)3xyx0x类型二：轨迹的极坐标方程例3：（2107全国2卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,3，点B在曲线2C上，求OAB△面积的最大值．解：（1）设00MP，，，，则0||OMOP，．由000016cos4，解得4cos，化直角坐标方程为2224xy0x．（2）联结AC，易知AOC△为正三角形，||OA为定值．所以当高最大时，AOB△的面积最大，如图所示，过圆心C作AO垂线，交AO于点H，交圆C于B点，此时AOBS△最大，max1||||2SAOHB12AOHCBC32．点评：本题大部分学生的问题没有解决第一问，从而导致无法做第二问，其实这类问题和我们在直角坐标系内求曲线直角坐标方程的思路和方法是一样的，常用的方法有直接法、相关点法等．在极坐标中，只需把点的坐标由yx,改为,即可，本题用相关点法，P，M两点连线过极点，易得极角相等关系，再根据题目所给极径的条件可得相关点的坐标关系．yxHC(2,0BA(2?3)O例4：以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕极点逆时针旋转后得到曲线．（1）求曲线的极坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，已知，若，求的值．解：（1）设上任意一点的极坐标为，其在上对应点的坐标为11,，则311，即311，代入曲线方程，得，化简得的极坐标方程：．（2）的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，化简得，，，，∴，∴，∴，∵，∴，满足，∴．点评：本题用相关点法，由于是绕极点旋转，因此曲线与曲线上的对应点的极径相等，极角相差，学生最长见得错误是把3,代入曲线方程．其根本原因是不理解相关点法的代换思想，得到相关点的坐标后，用所求轨迹曲线上的点的坐标表示已知轨迹方程的曲线上的点的坐标，然后代换、化简求出轨迹方程．强化训练：1．在极坐标系中，动点P(ρ，θ)运动时，ρ与42sin2成反比，动点P的轨迹经过点(2,0)．(1)求动点P的轨迹的极坐标方程；(2)将(1)中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线．1．解：(1)利用ρ与42sin2成反比例以及点P轨迹过定点(2,0)求解．(2)记住极坐标与直角坐标之间转化的公式xyyxcos,sin,22，分别代入即可求解．设42sin2k∵2＝2in，∴k＝1．∴sin1222cos11(2)∵ρ＋ρsinθ＝2，∴22xy＋y＝2．整理得y＝－14x2＋1．∴轨迹为开口向下，顶点为(0,1)的抛物线．2．点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,将点P绕极点O逆时针90°得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.（1）求曲线C1,C2的极坐标方程;（2）射线0,3与曲线C1,C2分别交于A,B两点,定点M(2,0),求△MAB的面积.2．解：（1）曲线1C的极坐标方程为4cos，设,Q，则,2P，则有4cos4sin2，所以曲线2C的极坐标方程为4sin．（2）M到射线3的距离为2sin33d，4sincos23133BAAB，1332SABd．3．已知圆22:4Cxy，直线:2lxy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）将圆C和直线l方程化为极坐标方程；（2）P是上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足2|OQ||OP||OR|，当点P在上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．3．解析：（1）将，分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为，．4分（2）设的极坐标分别为1(,)，(,)，2(,)，则由得212．6分又22，12cossin，所以24cossin，故点Q轨迹的极坐标方程为．10分4．在极坐标系中，曲线12,CC的极坐标方程分别为2cos，cos()13．（1）求曲线1C和2C的公共点的个数；（2）过极点作动直线与曲线2C相交于点Q，在OQ上取一点P，使2OPOQ，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．4．解析：（1）1C的直角坐标方程为22(1)1xy，它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆，2C的直角坐标方程为320xy，所以曲线2C为直线，由于圆心到直线的距离为312d，所以直线与圆相离，即曲线1C和2C没有公共点．（2）设00(,)Q，(,)P，则002，即002，①因为点00(,)Q在曲线2C上，所以00cos()13，②将①代入②，得2cos()13，即2cos()3为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2213()()122xy，因此点P的轨迹是以13(,)22为圆心，1为半径的圆．llcosxsiny:2C:(cossin)2l,,PQR2|OQ||OP||OR|2(cossin)(0)