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吴起高级中学2018-2019学年第一学期期末考试高二理科数学试卷（能力）考试范围：数列;解三角形；不等式；常用逻辑用语；空间向量与立体几何；圆锥曲线与方程考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.命题且是真命题，则命题是（）A.假命题B.真命题C.真命题或假命题D.不确定【答案】B【解析】【分析】命题且是真命题，则命题p和命题q都为真命题.【详解】命题且是真命题，由复合命题真值表可知，命题p和命题q都为真命题.故选：B【点睛】本题考查含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于基础题.2.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：直接利用一元二次不等式的解法即可.详解：解方程，得，不等式的解集为.故选：D.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.3.已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式进行计算即可得答案.【详解】等差数列{an}中，，则即3=9+6d,解得d=-1故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.4.命题“使得”的否定是（）A.都有B.使得C.使得D.都有【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“，使得”的否定是“，都有”，故选D.5.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6.在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线AC与MN所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】连接BC1、D1A，D1C，∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点∴MN∥C1B.∵C1B∥D1A，∴MN∥D1A，∴∠D1AC为异面直线AC与MN所成的角.∵△D1AC为等边三角形，∴∠D1AC=60°.故选C.点睛:本题主要考查异面直线所成的角.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.曲线与曲线的（）A.离心率相等B.焦距相等C.长轴长相等D.短轴长相等【答案】B【解析】【分析】分别求出两个曲线的长轴，短轴，离心率，焦距，即可得到结果．【详解】曲线为焦点在y轴上的椭圆，长轴2a=10，短轴2b＝8，离心率e＝，焦距2c＝6．曲线为焦点在y轴上的椭圆，长轴2a′＝2，短轴2b′＝2，离心率e′＝，焦距2c′＝6．∴两个曲线的焦距相等．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，属于基础题.8.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】【分析】由，即可判断出直线l与平面α的位置关系．【详解】∵，∴⊥，∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．故选：D．【点睛】本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力．9.已知双曲线：（，），右焦点到渐近线的距离为，到原点的距离为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意，双曲线，右焦点到渐近线的距离为，到原点的距离为，则双曲线焦点到渐近线的距离为，又，代入得，解得，故选D．10.在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.【详解】在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，代入，∴，解得．∴的形状是等边三角形，故选C．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知椭圆上一点P与椭圆的左右焦点构成一个三角形，且,则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，然后利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【详解】由椭圆可知，a＝2，b＝1，∴c＝，∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1||PF2|＝，又∵在△F1PF2中，＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝；故选：B．【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化．12.设且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】x，y∈R+且xy﹣（x+y）＝1，可得xy＝1+（x+y），化简解出即可得．【详解】∵x，y∈R+且xy﹣（x+y）＝1，则xy＝1+（x+y）≥1+2，化为：﹣2﹣1≥0，解得≥1+，即xy,xy＝1+（x+y）,即解得故选：A．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8：5，则此三角形面积为____．【答案】【解析】试题分析：设另外两边为，由三角形余弦定理得考点：1．余弦定理；2．三角形面积公式14.若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为________．【答案】2【解析】抛物线上一点M到焦点的距离为3，则抛物线上一点M到准线得距离为3，则点M到y轴的距离为.15.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为n＝(1,0,0)，D，A0，－a,0，P，M，＝，所以cos〈，n〉＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.16.设满足约束条件，若目标函数（其中）的最大值为3，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，当直线向上平移时，增大，因此当过点时，，（当且仅当时等号成立），因此的最小值为3．故选C．考点：简单的线性规划，基本不等式．【名师点睛】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．（2）距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2.（3）斜率型：形如z＝.注意：转化的等价性及几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水位下降1米后，则水面宽多少米？【答案】【解析】【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为由题意可得A（2，-2），B（x0，﹣3）,将点A代入抛物线，得p=1，所以方程为：,则当y=-3时，,x=,所以水面宽为米。【点睛】本题主要考查抛物线的应用．考查学生利用抛物线解决实际问题的能力．18.各项均为正数的等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）记为前n项和．若，求m．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q，即得{an}通项公式．（2）利用等比数列前m项和公式求出，代入可求出m．【详解】（1）设的公比为q，由题设得．由已知得，解得q=0（舍去），q=-2（舍）或q=2．故．（2）因为，所以,得，解得m=6．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，考查等比数列前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．19.已知命题P：关于的不等式的解集为空集；命题q：函数没有零点，若命题P且q为假命题，P或q为真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】先求命题p,q分别为真时a的取值范围，再分别求出当p真q假和当q真p假时a的取值范围，求并集可得答案．【详解】对于命题p：∵x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为空集∴△＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3对于命题q：f（x）＝ax2+ax+1没有零点等价于方程ax2+ax+1＝0没有实数根①当a＝0时，方程无实根符合题意②当a≠0时，△＝a2﹣4a＜0解得0＜a＜4∴0≤a＜4由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真，当p真q假时得解得﹣1＜a＜0当p假q真时得解得3a＜4所以a的取值范围为【点睛】本题借助考查复合命题的真假判断，考查函数零点问题及一元二次不等式问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题为真时参数的取值范围，属于基础题.20.在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）求的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）首先根据题意边化角，由正弦定理得,可得出角C（2）由C=60°可得A+B=120°可将然后根据A的范围即可求得最大值试题解析：(1)由atanC=2csinA得，由正弦定理得,∴cosC=.∴C=.(2)∵C=,∴∴当A=时sinA+sinB的最大值为.点睛：在解三角形时，要注意正弦定理角化边或边画角的运用，三角函数最值问题，首先要注意统一边变量，同时要注意所存在的范围，然后再求解最值21.如图，多面体中，是正方形，是梯形，，，平面且，分别为棱的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）通过证明平面，所以平面平面．（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求二面角的余弦值。试题解析：（Ⅰ）∵，是正方形∴∵分别为棱的中点∴∵平面∴∵，∴平面∴从而∵，是中点∴∵∴平面又平面所以，平面平面．（Ⅱ）由已知，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，平面的一个法向量为，由得令，则由（Ⅰ）可知平面∴平面的一个法向量为设平面和平面所成锐二面角为，则所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．22.已知椭圆C：上一动点到两焦点的距离之和为4，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）试确定m取值范围，使得C上存在不同的两点关于对称。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件由椭圆定义得2a=4,由离心率得c值，再结合，可得椭圆方程．（2）假设存在A（x1，y1），B（x2，y2）满足题意,因为A,B两点关于直线y＝4x+m对称，所以，再用点差法进行求解．【详解】（1）依题意：令动点为P，,所以a=2，又，所以C=1，，则椭圆方程为：（2）令存在两点关于l对称，且AB中点，则,两式相减，得，又【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数取值范围的求法和点差法的应用.