Lyapunov-指数

3Lyapunov指数3最大Lyapunov指数......................................................................................................13.1引言..............................................................................................................................23.2Lyapunov指数谱的理论计算方法..............................................................................43.3Wolf法求Lyapunov指数..............................................................................................53.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数.............................................................63.5尺度相关的Lyapunov指数..........................................................................................83.6海杂波的最大Lyapunov指数....................................................................................103.7本章小结....................................................................................................................103.8后记............................................................................................................................10-1-3.1引言最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此是一个重要的混沌不变量。对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。另一方面系统在相体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。奇怪吸引子的不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。为了有效刻画吸引子，我们有必要研究动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和Kolmogorov熵等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。在一维动力系统1()nnxFx+=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dFdx的值。若1dFdx，则迭代使得两点分开；若1dFdx，则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中，dFdx的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。不妨设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为n()00()(nxnneFxFλεε=+−0)x(3.1)取极限0,nε→→∞，则(3.1)变为()()00000()()11limlimlnlimlnnnnnnxxdFxFxFxxnnεελε→∞→→∞=+−==dx(3.2)上式变形后，可简化为：()()01001limlnnnixxdFxxndxλ−→∞===∑(3.3)(3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov指数，它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。若0λ，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动；若0λ，则意味着相邻点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、耗散、存在捕捉区域等)，系统要在有限的几何对象上实现指数分离，必须无穷次折叠。则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子，故0λ可以作为混沌行为的一个判据。对于一般的维动力系统，定义Lyapunov指数如下：n-2-设为上的n维映射，假设一个维离散动力系统：Fn→RRnn()1Fnnxx+=。将系统的初始条件取为一个无穷小的维小球，由于演化过程中的自然变形，球将变成椭球。将椭球上所有主轴按其长度顺序排列，那么第i个Lyapunov指数根据第i个主轴的长度的增加速率定义为n()iPn()()(1001limln,1,2,,niiiniinPnPσ−→∞===∑)n(3.4)这样Lyapunov指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在Lyapunov指数小于零的方向上轨线收缩，运动稳定，对于初始值不敏感；而在Lyapunov指数为正的方向上，轨道迅速分离，对初始值敏感。Lyapunov指数的前个指数之和由前个主轴定义的维立体指数增加的长期平均速率确定，如椭球长度按jjj1eσ增加，由前两个主轴定义的区域面积按12eσσ+增加，由前三个主轴的体积按123eσσσ++增加，以此类推。在Lyapunov指数谱中，最小的Lyapunov指数决定轨道收缩的快慢；最大的Lyapunov指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢；而所有的指数之和iλ∑可以认为是大体上表征轨线总的平均发散快慢。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象[1]。Lyapunov指数对应混沌系统的初始值敏感性，它与吸引子至少有如下关系[2]:1)任何吸引子，不论是否为奇怪吸引子，都至少有一个Lyapunov指数是负的，否则轨线就不可能收缩为吸引子。2)稳定定态和周期运动(以及准周期运动)都不可能有正的Lyapunov指数。稳定定态的Lyapunov都是负的；周期运动的最大Lyapunov等于0，其余的Lyapunov都是负的。3)对于任何混沌运动，都至少有一个正的Lyapunov指数，如果经过由计算得知系统至少有一个正的李雅普诺夫指数，则可肯定系统作混沌运动。Lyapunov指数的计算方法可分为两类：如果知道系统的动力学方程，则可以根据定义来计算[3,4]；如果不知道系统的动力学方程，则只有通过观测时间序列来估计。目前在工程上,由观测时间序列来计算Lyapunov指数的方法主要有以下两种[5]:-3-(1)分析法：该方法通常先进行相空间重构，求系统状态方程的雅可比矩阵，然后对雅可比矩阵进行特征值分解或奇异值分解求取系统的Lyapunov指数，但该方法对噪声非常敏感。(2)轨道跟踪法：该方法以Wolf方法[3]和Rosenstein的小数据法[6-8]为代表，对系统两条或更多条的轨道进行跟踪，获得它们的演变规律以提取Lyapunov指数。该方法的优点是计算结果不易受拓扑复杂性(如Lorenz吸引子)的影响。本文主要研究以Wolf方法为基础的轨道跟踪法及其改进算法，本章中各节主要内容如下：3.2节介绍Lyapunov指数谱的理论计算方法，3.3节介绍Wolf提出的基于轨道跟踪的Lyapunov指数计算方法，3.4节介绍Wolf方法的改进：小数据量和Kantz算法，3.5节介绍能有效区分混沌、噪声、分形布朗运动等多种时间序列的尺度相关Lyapunov指数，3.6节介绍海杂波的Lyapunov指数，3.7节为本章小结。3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法在已知动力学微分方程的情况下，经过理论推导或对微分方程离散化采用某种数值迭代算法，就可以得到已知动力学系统的精确Lyapunov指数谱。本文介绍的算法基本原理是首先求解出系统常微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi矩阵进行QR分解，同时对多个小时间段进行必要的正交化重整过程，反复迭代计算后从而得到系统的Lyapunov指数谱。设动力学系统由右侧方程式决定：(3.5)()F=XX并考虑轨道相邻两点和(X′X′=−ξXX)，将(3.5)式线性化得(3.6)(())Tt=ξXξi式中(F=∂∂T)X是雅可比矩阵，ξ是切平面上的切矢量，将(3.6)式积分有()(0)t′=ξAξ(3.7)其中，是切向量到的线性映射算子，因此得到平均指数增长率为′A(0)ξ()tξ()()(0),(0)lim(0)ttλ→∞=ξXξξ(3.8)对于重构相空间中的某一点，与点距离小于iXiXε的所有点为{,，它们的位移矢量为1,2,i=ikX}-4-{}{}ε=−−≤iiikikiYXXXX(3.9)经过一段时间后，数据点演化为，因此原位移矢量{映射为t,→→iiii+tkkXXXX+t}iY{}{}ε=−−≤iiik+ti+tkiZXXXX(3.10)如果半径ε足够小，则位移矢量{和{可近似为切平面上的切矢量，因此从到的矩阵}iY}iZiYiZjA满足(3.11)=ijZAYid使用最小二乘法，可以求得式(3.11)中的矩阵，应用QR分解矩阵，同时在不同的时间段内进行必要的Gram-Schmidt正交化重整过程，即可得到所需的lyapunov指数AA,1,2,,iiλ=[3,4,9]。3.3Wolf法求Lyapunov指数对于一般的实际时间序列，我们无法确切知道该时间序列代表的原始动力学过程，因此无法根据动力学方程求得该时间序列的精确Lyapunov指数。一般只能对单变量的时间序列进行相空间重构，然后使用分析法和轨道跟踪法来提取系统的Lyapunov指数。由于在1985年，Wolf等人首先提出直接基于相平面、相体积等演化来估计Lyapunov指数，因此传基于轨道跟踪的这类方法有被统称为Wolf方法，它在混沌系统的研究和基于Lyapunov指数的混沌时间序列预测中应用十分广泛[1,3]。设混沌时间序列为{}12,,,nxxx，嵌入维数，时间延迟为mτ，则重构相空间为()()()(),(),,(m-1),1,2,,(m-1)iiiiYtxtxtxtiNτττ=++=−(3.12)相空间重构后，利用混沌吸引子的轨道分离特性，Wolf方法计算最大Lyapunov指数的整个过程如图3-1所示。图3-1：Wolf法求最大Lyapunov指数示意图(此图取自wolf论文[3]，因时间关系没有重绘)-5-我们取相空间中的初始点为()0Yt，设它的最邻近点为()00Yt，两点之间的距离设为0()Lt，从时刻开始追踪这两点的时间演化，直至时刻两点的间距超过规定值0t1tε()()1(),0Ltεε′=−101YtYt(3.13)此时保留点，并在临近找一点()1Yt()1Yt()11Yt，此时需要保证两点间距离不但保证()()1(),0Ltεε=−111YtYt(3.14)并且使得1()Lt与1()Lt′之间的夹角1θ尽可能的小，继续重复上述过程，直至到达时间序列的终点，这时追踪演化过程总的迭代次数为()YtM，则最大Lyapunov指数为1101()1ln()MkkMkLtttLtλ=−′=−∑(3.15)如果要计算次大的Lyapunov指数，如图3-2所示，则要追踪一个点以及相邻两个点构成三角形0()At的演化过程，当这个三