陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题

陕西省黄陵中学高新部2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分）1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体3．如图，直观图所表示的平面图形是()A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？()5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面6．如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°7．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π68．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C5，k2在同一条直线上，则k的值为()A.12B．9C．－12D．9或129．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．3B4C．5D．611．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A.(1,2)B．(2,1)C.(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A.(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C.(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.若函数f(x)＝log3（2x＋5），x0，12x，x≤0，则f(f(－1))＝14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．16．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x＞0，－f（x），x＜0，求F(2)＋F(－2)的值；18．（14分）设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值．19．（14分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.20．（14分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.21．（14分）已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．22．（14分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分，1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}答案：C2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案：C.3如图，直观图所表示的平面图形是()A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形．答案D4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？()答案D．5．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面答案C6．.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B71.直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D．8．4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C5，k2在同一条直线上，则k的值为()A.12B．9C．－12D．9或12答案A9．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案：C．10．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()_A．3B4C．5D．6．解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案：B11．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A.(1,2)B．(2,1)C.(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)答案C12．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A.(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C.(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4答案D解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13.若函数f(x)＝log3（2x＋5），x0，12x，x≤0，则f(f(－1))＝214．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14π________．15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定1或4________个平面．16．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．y＝－53x或x－y＋8＝0三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（10分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x＞0，－f（x），x＜0，求F(2)＋F(－2)的值；解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝（x＋1）2，x＞0，－（x＋1）2，x＜0.所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.18．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值．2．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，32上的最大值．解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a＞0，a≠1)，所以a＝2.由1＋x＞0，3－x＞0，得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，32上的最大值是f(1)＝log24＝2．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.20．（12分）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AB.证明(1)∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥EB.又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.又∵EC⊂平面CBE.∴AE⊥EC.(2)∵CD∥AB，AB⊂平面ABE.∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.∴CD∥EF.又∵CD∥AB.∴EF∥AB.．21．（12分）4.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b，④联立③④，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.22．（12分）已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝11，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)解：圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为