陕西省黄陵中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（重点班）理

陕西省黄陵中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（重点班）理一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－12．在△ABC中，“A＝π4”是“cosA＝22”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是()A．p∧qB．（¬p)∧qC．(¬p)∨qD．p∨(¬q)4．不等式x－2x＋3≤2的解集是()A．{x|x＜－8或x＞－3}B．{x|x≤－8或x＞－3}C．{x|－3≤x≤2}D．{x|－3＜x≤2}5．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是()A.1a＞1bB．ba＞1C．a2＜b2D．ab＜a＋b6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．647．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是()A．23B．22C．43D．428．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定9．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)10.若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()A．18B．6C．23D.4311．已知钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B．5C．2D．112.已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.13B.12C.23D.34二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．命题“∃x0∈0，π2，tanx0≤sinx0”的否定是______________________．14．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．15．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共80分）17．(本小题满分10分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0，命题q：1－x21.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．18．(本小题满分12分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．19．(本小题满分12分)求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)证明：AC⊥BC1；(2)求二面角C1­AB­C的余弦值大小21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝π3，sinB＝3sinC.(1)求tanC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．22．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x2－y22＝1，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．23．(本小题满分10分)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.(1)求证：EF⊥PB.(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．解：由p是真命题，知lg(x2－2x－2)≥0，所以x2－2x－2≥1⇔x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.由q是假命题知1－x2≥1，故1－x2≤－1或1－x2≥1，解得x≥4或x≤0.所以x的取值范围是{x|x≤－1或x≥4}．解：a＝AB→＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b＝AC→＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cosθ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a与b的夹角θ的余弦值为－1010.123456789101112DCDBDAAABBBA一、选择题（60分）二、填空题（20分）13∀x∈0，π2,tanxsinx14．__－1__．15．__(－64，－26，－17)_16．_217_解析：易知k≠0，椭圆方程可化为x2＋y2－5k＝1，所以a2＝－5k，b2＝1.又c＝2，所以－5k－1＝4，所以k＝－1.答案：－114若a≥b，则2a≥2b15216(2)(4)三、解答题（70分）17、（8分）18（12分）17（10分）(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，所以k＝－52或k＝2.解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)，解得p＝23.所以所求抛物线的标准方程为y2＝－43x.当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p0)．把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p，解得p＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则－p2＝－2解：直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．(1)证明：AC→＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)，所以AC→·BC1→＝0.故AC⊥BC1.(2)解：平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一个法向量为n＝(x，y，z)，20（12分）19（12分）AC1→＝(－3，0，4)，AB→＝(－3，4，0)，由n·AC1→＝0，n·AB→＝0.得－3x＋4z＝0，－3x＋4y＝0，令x＝4，则y＝3，z＝3，n＝(4，3，3)，故cos〈m，n〉＝334＝33434.即二面角C1­AB­C的余弦值为33434.解：(1)因为A＝π3，所以B＋C＝2π3，故sin2π3－C＝3sinC，所以32cosC＋12sinC＝3sinC，即32cosC＝52sinC，得tanC＝35.(2)由bsinB＝csinC，sinB＝3sinC，得b＝3c.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9c2＋c2－2×(3c)×c×12＝7c2，又因为a＝7，所以c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝12bcsinA＝334.解：显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．联立y－1＝k(x－1)和x2－y22＝1，消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由Δ＞0，得k＜32，x1＋x2＝2（k－k2）2－k2，由M(1，1)为PQ的中点，得x1＋x22＝k－k22－k2＝1，22（12分）21（12分）解得k＝2，这与k＜32矛盾，所以不存在满足条件的直线l.(1)证明：在Rt△ABC中，因为EF∥BC，所以EF⊥AB，所以EF⊥EB，EF⊥EP，又因为EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PEB，所以EF⊥平面PEB.又因为PB⊂平面PEB，所以EF⊥PB.(2)解：在平面PEB内，过点P作PD⊥BE于点D，由(1)知EF⊥平面PEB，所以EF⊥PD，又因为BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BCFE，所以PD⊥平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BH∥PD，则BH⊥平面BCFE.如图所示，以B为坐标原点，BC→，BE→，BH→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE＝x(0＜x＜4)，又因为AB＝BC＝4，所以BE＝4－x，EF＝x.在Rt△PED中，∠PED＝60°，所以PD＝32x，DE＝12x，所以BD＝4－x－12x＝4－32x，所以C(4，0，0)，F(x，4－x，0)，P0，4－32x，32x.从而CF→＝(x－4，4－x，0)，CP→＝－4，4－32x，32x.设n1＝(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，所以n1·CF→＝0，n1·CP→＝0，即x0（x－4）＋y0（4－x）＝0，－4x0＋4－32xy0＋32xz0＝0，所以x0－y0＝0，3y0－z0＝0，取y0＝1，得n1＝(1，1，3)是平面PFC的一个法向量．又平面BFC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，设二面角P­FC­B的平面角为α，23（10分）则cosα＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1||n2|＝155.因此当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值为定值，且定值为155.