项目一极限与连续

模块一一元函数微积分项目一函数极限连续任务一函数任务二极限的概念无穷小与无穷大任务三极限的四则运算法则任务四两个重要极限任务五函数的连续性学习步骤二分段函数学习步骤一函数学习步骤三函数的简单性质学习步骤四初等函数学习步骤五经济函数任务一函数任务一函数学习步骤一函数案例1[微波炉中食品的温度]将一碗冷饭放进微波炉中，其温度T随着时间t的增加而升高．案例2[圆盘的面积]一个圆盘的面积S由其半径r唯一确定其面积S随着半径r的增加而增大。由此可见，在实际问题中，一个变量的值往往取决于另一个变量的值，这种变量之间的一种确定的依赖关系就是函数关系。xxyxyy()yfxxyxy定义域与对应法则是构成函数的两个基本要素，值域则由对应法则和定义域完全确定，只有定义域和对应法则完全相同的两个函数才是相同的函数。定义1设有两个变量和，如果对于变量在允许取值范围内的每一个值，变量按照某一对应规则，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数，记作其中为自变量，为因变量．的取值范围叫做函数的定义域，的取值范围叫做函数的值域．进一步练习：练习1下列各对函数中（）不是同一函数21()xAyyxx与2()24xxByy与2()lg2lgCyxyx与2()1cossinDyxyx与解答案为D练习2求下列函数的定义域(1)21()2fxxx(2)2()9fxx(3)()lg(43)arcsin(21)fxxx解（1）要使有意义，即()fx022xx0)1)(2(xx2x或1x定义域为),2()1,(（2）要使式子有意义，有290x，解得33x定义域为3,3（3）要使式子有意义，有4301211xx且，解得3014xx且定义域为3,144.反正弦反余弦绝对值不超过1求定义域的几种方法1.分母不为零2.根号下的偶数次方非负0)(,)(1)(xQxQxf.,0)(,)()(2NnxQxQxfn3.真数为正.0)(),(log)(xQxQxfa),(arcsin)(xQxf),(arccos)(xQxf.1)(xQ（3）用图形表示函数的方法叫做函数的图像法。其优点是直观形象且可清晰地看到函数的变换趋势，此法在工程技术、经济领域中应用普遍。学习步骤二分段函数案例3【打车问题】在某市打出租车，起步价是4元（2公里）超出起步里程后，每公里价格是1元/公里。由于油价的上涨，最后的打车费还要加1元的燃油附加费。某学院两校区的距离是6公里，王伟打车从老校区到新校区。问哪些是不变量，哪些是变量？求打车费m与路程s之间的函数关系。解起步价是不变量;超出起步里程后，每公里价格是不变的，出租车运行路程是变量，乘客打车费是变量。根据题意可列出分段函数如下2,)2(520,5sssm打车费与里程的函数关系就是分段函数.其定义域为(0,2](2,)(0,)概念的引出分段函数：两个变量之间的函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达。分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集。约定：定义域是自变量所能取得使算式有意义的一切实数值。函数的表示法常用的函数表示法有公式法、表格法、图像法（1）用数学式子表示函数的方法叫做函数的公式法（解析式法）。其优点是便于理论推导和计算，数学中的函数大多数采用此法。（2）用表格形式表示函数的方法叫做函数的表格法。其优点是所求的函数值容易查到，如所学过的三角函数表，对数表。进一步练习练习3设函数)(xf1,110,2xxx求:（1）函数的定义域（2）（3）作出图像1(1),(),(5)2fff解：（1）定义域为),0[（2）11(1)1,(),(5)124fff（3）函数图像如图1.1.1所示图1.1.1学习步骤三函数的简单性质单调性设函数在区间I上有定义，如果()fx12,xxI当12xx时，有12()()fxfx，则称函数()fx在I上是单调增加的；当12xx时，有12()()fxfx，则称函数()fx在I上是单调减少的。单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数；并称I是该函数的单调区间。奇偶性：设函数()fx的定义域I关于原点对称，如果对任意的xI,有()()fxfx，则称函数()fx为奇函数；如果对任意的xI,有，()()fxfx则称函数()fx为偶函数。既不是奇函数又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。周期性：设函数()fx的定义域为I，如果存在一个不为零的常数T，对任意的，则称函数()fx为周期函数，满足上式的最小正数T称为函数()fx的最小正周期。如sin,cosyxyx都是以2为周期的周期函数；tan,cotyxyx都是以为周期的周期函数。,xI有,()()xTIfxTfx且使有界性：设函数()fx的定义域为I,如果存在正数M,使得对于任意的,()xIfxM有,则称函数()fx为I上的有界函数；否则称为无界函数。如函数sinyx在区间(,)内恒有sin1xR上的有界函数。，故是学习步骤四初等函数1、基本初等函数我们常把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。（1）常数函数()yfxc常数函数的定义域是(,)，且无论x取什么值都有yc，故其值域为{}c。它的图像是一条过点(0,)c且与x轴平行（重合）的直线。当0c时，它既是奇函数又是偶函数；当0c时，它只是偶函数另外，常数函数也是有界周期函数.（2）幂函数()yx为实数当取不同值时，幂函数的定义域不同。本书只讨论0x的情形，而0x时的图像，可根据函数的奇偶性确定。见图1.1.1（3）指数函数(0,1)xyaaa指数函数(0,1)xyaaa的定义域是实数集(,)，值域为正实数集(0,)。（4）对数函数log(0,1)ayxaa对数函数log(0,1)ayxaa的定义域为(0,)值域为(,)对数函数log(0,1)ayxaa与指数函数(0,1)xyaaa互为反函数。（5）三角函数函数sin,cos,tan,cot,sec,cscyxyxyxyxyxyx依次叫做正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。它们统称为三角函数。（6）反三角函数正弦函数sinyx在区间[,]22上的反函数称为反正弦函数，记作arcsinyx。函数arcsinyx的定义域为[1,1]值域为。[,]22余弦函数cosyx在区间[0,]上的反函数称为反余弦函数，记作arccosyx。函数arccosyx的定义域为[1,1]值域为。[0,]正切函数tanyx在区间(,)22上的反函数称为反正切函数，记作arctanyx。函数arctanyx的定义域为(,)，值域为(,)22。余切函数cotyx在区间(0,)上的反函数称为反余切函数，记作cotyarcx。函数cotyarcx的定义域为(,)，值域为(0,)。2、复合函数定义1.2设函数y=f(u)的定义域为fD，函数u=)(x的定义域为D，值域为R，如果RDf则y=f(u),u=)(x,是可以复合的，记作。)]([xfy称u为中间变量。注：（1）RDf，否则不能复合，如uufyarcsin)(与2()2uxx就不能复合，因为]1,1[fD，而RDRf],,2[，（2）复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量。（3）复合函数通常不一定由基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数所构成。这样，复合函数的合成与分解往往是对简单函数而言的。无中间变量的函数称为简单函数。练习4设函数()fx的定义域为[0,1],求)(sinxf的定义域。解由()fx的定义域为[0,1],可知)(sinxf必须满足1sin0x)()12(2kkxk即所以)(sinxf的定义域为},)12(2{kkxkx练习5指出下列函数的复合过程。（1）21xy（2）2ln(11)yx（3）1sin2xy（4）1tanxye解：（1）21xy是由,yu21xu复合而成.（2）2ln(11)yx是由y=lnu,1uv2,1vx复合而成.（3）1sin2xy是由2,sin,,1yuuvvwwx复合而成.（4）1tanxye是由1,tan,uyeuvvx复合而成.3、初等函数由常数和基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算，并能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。例如：)42sin(2xxy2sin,lncosxxyx2,arctan(21)xyexx等都是初等函数。而一般的分段函数，如0,10,)(,0,10,00,1sgn2xxxxxfxxxxy就不是初等函数，但并不是所有的分段函数都不是初等函数。例如，0,0,xxxxxy为分段函数，但2xxy可看作是由uy2ux与复合而成的函数，所以为初等函数。学习步骤五经济函数在社会经济活动中，往往会涉及一些经济变量，它们之间有着各种依存关系。用数学方法解决经济问题，就要找出这些经济量之间的函数关系。下面我们介绍一些常见的经济函数。1、需求函数市场对某种商品的需求量Q，主要受到该商品价格的影响，通常降低商品的价格会使得需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其他因素不变的条件下，市场需求量Q可视为该商品价格p的函数，称为需求函数，记作：()QQp常见的需求函数有以下几种类型：（1）线性需求函数：（2）指数需求函数：(0,0)Qabpab(0,0)bpQAeAb需求函数()QQp的反函数，就是价格函数，记作()ppQ，也反映商品的需求与价格的关系。2、供给函数供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种商品的市场供给量S也受商品价格p的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其他因素不变的条件下，供给量S也可看成价格p的函数，称为供给函数，记作()SSp常见的供给函数也有以下几种类型：（1）线性供给函数：（2）指数供给函数：(0,0)Sdpccd(0,0)dpSAeAd一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。3、成本函数总成本由固定成本0c和可变成本1()cq两部分组成：01()()cqccq其中固定成本0c与产量q无关，如厂房、设备费等；变动成本1()cq随产量q的增加而增加，如原材料费等。4、收入函数总收入函数与产品的单价、产量和销售量有关。如果产品的单位售价为,p产量或销售量为q，则总收入函数为：()Rqpq5、利润函数总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为：()()()LqRqCq图1.1.1yx0C4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)12yx4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)