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线性空间线性空间的定义类比解析几何中的R2与R3,我们可以将其推广到n维:Def:n维向量空间:定义在数域P上,Pn=f =(x1;x2;;xn);xi2PgDef:若有集合V=/?,数域P在V中定义了两种运算:加法运算+,8 ; 2V; + 2V数乘运算,8 2V; 2V; 2V满足以下8条运算规律:关于加法:1)加法满足交换律8 ; 2V; + = + 2)加法满足结合律8 ; ;2V; +( +)=( + )+3)V中存在零元902V;8 2V;0+ = 4)V中任意元素存在负元8 2V;9 2V; + =0关于数乘:5)1 = 6)数乘满足结合律l(k )=(lk) 7)(l+k) =l +k 8)l( + )=l +l 则称V为一线性空间e.g.V=R+P=Ra+b=abab=baProp:零元的唯一性Proof:设01;02是V中的两个零元,)02+01=02;01+02=01)01=01+02=02∎Prop:负元的唯一性8 2V;9! =¡ 2V1Proof:设 1; 2是 的负元: + 1=0; + 2=0) 1= 1+0= 1+( + 2)=( 1+ )+ 2= ∎Prop:8 2V;k2P;0 =0;k0=0Proof:8 2V;0 + =0 +1 =(0+1) =1 = ∎k=0时,已证k=/0时,k0+ =k0+¡k1k =k0+k¡1k =k¡0+1k =k1k = ∎Prop:¡ =(¡1) Proof:1 +(¡1) =(1+(¡1)) =0 =0)¡ =(¡1) ∎Prop:k =0)k=0或 =0Proof:若k=0,易得k =0若k=/0, =1k(k )=1k0=0∎维数,基与坐标Def:给定数域P上的一个线性空间V,8 1; 2;; s2V;k1;k2;;ks2P,称: =k1 1+k2 2++ks s2V为 1; 2;; r的线性组合也称 可由向量组 1; 2;; r线性表出Def:若不存在不全为零的一组数k1;k2;;ks2P,使得:k1 1+k2 2++ks s=0则称 1; 2;; n线性无关2Def:若存在不全为零的一组数k1;k2;;ks2P,使得:k1 1+k2 2++ks s=0则称 1; 2;; n线性相关Def:线性空间的维数如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,但不存在n+1个线性无关的向量,则称线性空间V是n维的如果在线性空间V中存在任意多个线性无关的向量,则称线性空间V是无限维的Def:线性空间的基n维线性空间中,n个线性无关的向量称为线性空间的一组基Prop:若向量组1;2;;n为n维线性空间V的一组基:8 2V;9a1;a2;;an2P^a1;a2;;an不全为零, =a1 1+a2 2++an n即线性空间V中的任意向量均可由线性空间的基线性表出其中a1;a2;;an由向量 与基1;2;;n唯一确定这组数a1;a2;;an就被称为向量 在基1;2;;n下的坐标,记为(a1;a2;;an)Thm:n维向量空间中任取n+1个向量都线性相关Thm:若有一组线性无关向量 1; 2;; n2V,且8 2V;9k1;k2;;kn2P^k1;k2;;kn不全为零, =k1 1+k2 2++kn n那么V是n维的, 1; 2;; n即为V的一组基基变换与坐标变换这里我们约定:若2V;=x11+x22++xnn,则将其记为:=(1;2;;n)0BB@x1x2xn1CCADef:如果n维线性空间V下的两组基:1;2;;n10;20;;n0满足:(10;20;;n0)=(1;2;;n)0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA则矩阵:0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA3称为由1;2;;n到10;20;;n0的过渡矩阵,它是可逆的Prop:若有向量组 1; 2;; n 1; 2;; n2V,nn的矩阵A=(aij);B=(bij),则有(( 1; 2;; n)A)B=( 1; 2;; n)(AB)( 1; 2;; n)A+( 1; 2;; n)B=( 1; 2;; n)(A+B)( 1; 2;; n)A+( 1; 2;; n)A=( 1+ 1; 2+ 2;; n+ n)A现在我们来讨论坐标变换的过程若我们已知线性空间V下的两组基1;2;;n与10;20;;n0,以及向量在基1;2;;n下的坐标(x1;x2;;xn)设向量在基10;20;;n0下的坐标为(x10;x20;;xn0),(10;20;;n0)=(1;2;;n)A;A=(aij)nn那么有:=(10;20;;n0)0BBB@x10x20xn01CCCA(1)=(1;2;;n)0BB@x1x2xn1CCA(2)(10;20;;n0)=(1;2;;n)0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA(3)将(3)式带入(1)式,得:=(1;2;;n)0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA0BBB@x10x20xn01CCCA(4)比较(4)式与(2)式,可得:0BB@x1x2xn1CCA=0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA0BBB@x10x20xn01CCCA(5)从而0BBB@x10x20xn01CCCA=0BBB@a11a12a1na21a22a2nan1an2ann1CCCA¡10BB@x1x2xn1CCA(6)这里的(5)与(6)式分别给出了在基变换(3)下的坐标变换公式线性子空间Def:已知线性空间V,若有集合WV;W=/?,且W对于V上的两种运算也构成线性空间,则称W为V的一个线性子空间,简称子空间Thm:若WV;W=/?,且W对于V的两种运算也是封闭的,即1)8k2P;8 2W;k 2W2)8 ; 2W; + 2W那么W为V的一个线性子空间Def:零子空间:f0g4Def:零子空间与线性空间本身称为平凡子空间,其他子空间称为非平凡子空间Def:齐次线性方程组的解向量张成的子空间称为解空间,它的维数为n¡r,方程组的基础解系即为线性空间的基Def:设 1, 2,, r是线性空间V的一组向量,易知,其线性组合构成的集合f j =k1 1+k2 2++kr rg=/?且对运算;+封闭,因此是V的一个子空间,称为 1; 2;; r生成的子空间,记作:L( 1; 2;; r)Prop:容易得知:1)对于V的一个子空间W,若 1; 2;; r2W,则L( 1; 2;; r)W2)对于V的一个子空间W,若 1; 2;; r为W的一组基,则W=L( 1; 2;; r)Thm:1)L( 1; 2;; r)=L( 1; 2;; s),向量组 1; 2;; r和 1; 2;; s等价2)dim(L( 1; 2;; r))=rank( 1; 2;; r)Thm:若W为数域P上线性空间V的一个子空间,dim(V)=n;dim(W)=m,W的一组基为 1; 2;; m,则这组向量一定可以扩充为整个线性空间的基,即:9 m+1; m+2;; n;使得 1; 2;; n为V的一组基子空间的交与和Thm:若V1;V2为线性空间V的子空间,则它们的交V1\V2也为V的子空间Prop:子空间的交满足以下性质:1)V1\V2=V2\V1(交换律)2)(V1\V2)\V3=V1\(V2\V3)(结合律)Def:多个子空间的交:V1\V2\\Vs=\k=1sVkDef:若V1;V2为V的子空间,则这两个子空间的和为:V1+V2=f j = 1+ 2; 12V1; 22V2gThm:若V1;V2为V的子空间,则V1+V2亦为V的子空间Prop:子空间的和满足以下性质:1)V1+V2=V2+V1(交换律)2)(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结合律)Def:多个子空间的和:V1+V2++Vs=Xk=1sVk=f j = 1+ 2++ s; k2Vk;k2N+\[1;s]g5Prop:子空间的交与和满足以下性质:1.若V1;V2;W均为子空间:1)WV1^WV2)WV1\V22)WV1^WV2)WV1+V22.对于子空间V1;V2以下几个命题等价:1)V1V22)V1+V2=V23)V1\V2=V1Thm:(维数公式)若V1;V2为V的子空间,则:dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1\V2)Proof:设dim(V1)=n1;dim(V2)=n2;dim(V1\V2)=m,取V1\V2的一组基: 1; 2;; m若m=0,这个基是空集,下文中不出现 1; 2;; m,但讨论仍然成立容易得到,总可以将 1; 2;; m扩充为V1的一组基: 1; 2;; m; 1;; n1¡m也可以将其扩充为V2的一组基: 1; 2;; m;1;;n2¡m现在我们来证明, 1; 2;; m; 1;; n1¡m;1;;n2¡m(1)是V1+V2的一组基因为V1=L( 1; 2;; m; 1;; n1¡m)V2=L( 1; 2;; m;1;;n2¡m)所以V1+V2=L( 1; 2;; m; 1;; n1¡m;1;;n2¡m)下证向量组(1)是线性无关的,假设有:k1 1+k2 2++km m+p1 1++pn1¡m n1¡m+q11++qn2¡mn2¡m=0令 =k1 1+k2 2++km m+p1 1++pn1¡m n1¡m(2)=¡q11¡¡qn2¡mn2¡m(3)6由(2), 2V1,由(3), 2V2,) 2V1\V2即 可以由 1; 2;; m线性表出令 =l1 1+l2 2++lm m,则l1 1+l2 2++lm m+q11++qn2¡mn2¡m=0由 1; 2;; m;1;;n2¡m线性无关,得:l1=l2==lm=q1==qn2¡m=0;) =0)k1 1+k2 2++km m+p1 1++pn1¡m n1¡m= =0由 1; 2;; m; 1;; n1¡m线性无关,得k1=k2==km=p1==pn1¡m=0从而 1; 2;; m; 1;; n1¡m;1;;n2¡m线性无关,从而它就是V1+V2的一组基)dim(V1+V2)=m+n1¡m+n2¡m=n1+n2¡m)dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1\V2)∎Thm:若V1;V2为V的子空间,且dim(V1)+dim(V2)dim(V),那么9 =/02V; 2V1^ 2V2,或者说V1\V2=/?子空间的直和Def:直和:若V1;V2为V的子空间,且:8 2V1+V2;9! 12V1;9! 22V2; = 1+ 2即任