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类型5二次函数与线段最值10.已知抛物线y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n为常数)．(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数表达式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件得n2－1＝0，解得n1＝1，n2＝－1，当n＝1时，得y＝x2＋x，对称轴为直线x＝－12，此抛物线的顶点(－12，－14)不在第四象限；当n＝－1时，得y＝x2－3x＝(x－32)2－94，此抛物线的顶点(32，－94)在第四象限．∴所求的函数关系式为y＝x2－3x；(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，①∵BC＝1，由抛物线和矩形的对称性可知OB＝12×(3－1)＝1，∴B(1，0)，∴点A的横坐标为1，又∵点A在抛物线y＝x2－3x上，∴点A的纵坐标y＝12－3×1＝－2，∴AB＝2，∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝6；②存在．∵点A在抛物线y＝x2－3x上，可以设A点的坐标为(x，x2－3x)，∴点B的坐标为(x，0)(0x32)，∴BC＝3－2x，∵点A在x轴的下方，∴x2－3x0，∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2，∴矩形ABCD的周长P＝2(3x－x2＋3－2x)＝－2(x－12)2＋132，∵a＝－20，∴当x＝12时，矩形ABCD的周长最大，最大值是132，此时点A的坐标为(12，－54)．