搜索
类型4二次函数与三角形相似9.已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m0)与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点G(2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线过点G(2，2)，∴2＝－1m(2＋2)(2－m)，解得m＝4.把m＝4代入y＝－1m(x＋2)(x－m)(m0)，得y＝－14(x＋2)(x－4)＝－14x2＋12x＋2，∴抛物线的表达式为y＝－14x2＋12x＋2，即y＝－14(x－1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，94)，对称轴为直线x＝1；第9题解图(2)存在．如解图，分两种情况讨论：i)当△ACB∽△ABM时，ACAB＝ABAM，即AB2＝AC·AM.∵A(－2，0)，C(0，2)，即OA＝OC＝2，∴∠CAB＝45°，∴∠BAM＝45°.如解图，过点M作MN⊥x轴于点N，则AN＝MN，∴OA＋ON＝2＋ON＝MN，∴令M(x，－x－2)(x0)，又∵点M在抛物线上，∴－x－2＝－1m(x＋2)(x－m)，∵x0，∴x＋20，又∵m0，∴x＝2m，即M(2m，－2m－2)．∴AM＝（2m＋2）2＋（－2m－2）2＝22(m＋1)，又∵AB2＝AC·AM，AC＝22，AB＝m＋2，∴(m＋2)2＝22×22(m＋1)，解得m＝2±22.∵m0，∴m＝2＋22，将m＝2＋22代入抛物线中，得y＝－12＋22(x＋2)(x－2－22)＝2－224(x2－22x－4－42)＝1－22x2＋(2－2)x＋2.ii)当△ACB∽△MBA时，则ABMA＝CBBA，∴AB2＝CB·MA，又∵∠CBA＝∠BAM，∠ANM＝∠BOC＝90°，∴△ANM∽△BOC，∴NMAN＝OCBO，∵OB＝m，令ON＝x，∴NM2＋x＝2m，∴NM＝2m(x＋2)，∴令M(x，－2m(x＋2))(x0)，又∵点M在抛物线上，∴－2m(x＋2)＝－1m(x＋2)(x－m)，∵x0，∴x＋20，∵m0，∴x＝m＋2，∴M(m＋2，－2m(m＋4))，又∵AB2＝CB·MA，CB＝m2＋4，AN＝m＋4，MN＝2m(m＋4)，∴(m＋2)2＝m2＋4·（m＋4）2＋4（m＋4）2m2.此时方程无解，故此种情况不成立．综上可得，当抛物线表达式为y＝1－22x2＋(2－2)x＋2时，在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．