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第24题二次函数综合题类型1二次函数与特殊三角形判定1.已知二次函数y＝ax2＋bx－3a(a0)经过点A(－1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图(1)解：∵二次函数y＝ax2＋bx－3a的图象经过点A(－1，0)、C(0，3)，∴根据题意，得a－b－3a＝0－3a＝3，解得a＝－1b＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)证明：由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4得，点D的坐标为(1，4)，点B的坐标为(3，0)，如解图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥DE于点F，∵D(1，4)，B(3，0)，C(0，3)，∴OC＝OB＝3，DE＝4，BE＝2，CF＝DF＝1，∴CD2＝CF2＋DF2＝2，BC2＝OC2＋OB2＝18，BD2＝DE2＋BE2＝20，∴CD2＋BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；第1题解图(3)解：存在．抛物线y＝－x2＋2x＋3对称轴为直线x＝1.i)如解图，若以CD为底边，则P1D＝P1C，设点P1的坐标为(x，y)，根据勾股定理可得P1C2＝x2＋(3－y)2，P1D2＝(x－1)2＋(4－y)2，∴x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，即y＝4－x.又∵P1(x，y)在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，∴4－x＝－x2＋2x＋3，即x2－3x＋1＝0，解得x1＝3＋52，x2＝3－521(舍去)，∴x＝3＋52，∴y＝4－x＝5－52，即点P1的坐标为(3＋52，5－52)．ii)如解图，若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，此时点P2的坐标为(2，3)．∴符合条件的点P的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．2.如图，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角△ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出m的值．第2题图解：(1)∵抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点(0，0)，与x轴的另一个交点为(2，0)，∴c＝04＋2b＋c＝0，解得c＝0b＝－2，∴抛物线C1的解析式为y＝x2－2x，则y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)∵将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到抛物线C2，∴抛物线C2的解析式为y＝(x－1－m)2－1，∵抛物线C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，∴A(m，0)、B(m＋2，0)、C(0，m2＋2m)，设抛物线C2的对称轴与x轴的交点为点E，如解图①，过点C作CH⊥DE于点H，第2题解图①∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴∠CDA＝90°，CD＝AD，又∵∠CHD＝∠DEA＝90°，∴∠CDH＋∠ADE＝∠ADE＋∠DAE，∠HCD＋∠HDC＝∠HDC＋∠ADE，∴∠CDH＝∠DAE,∠HCD＝∠EDA，∴△CHD≌△DEA，∴HD＝AE＝1,DE＝CH＝m＋1，∴EH＝HD＋DE＝m＋2，由OC＝HE得m2＋2m＝m＋2，解得m1＝1，m2＝－2(舍去)，∴抛物线C2的解析式为y＝(x－1－1)2－1＝x2－4x＋3；(3)m＝33.【解法提示】如解图②，连接BC、BP，由抛物线的对称性可知AP＝BP，第2题解图②∵△PAC是等边三角形，∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，∴C、A、B三点在以点P为圆心，PA长为半径的圆上，∴∠CBO＝12∠CPA＝30°，∴BC＝2OC，由勾股定理得OB＝BC2－OC2＝3OC，∴3()m2＋2m＝m＋2，解得m1＝33，m2＝－2(舍去)．∴m＝33.