搜索
二次函数与四边形判定1.已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点M(2，－3)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线L的表达式；(2)试判断抛物线L与x轴交点的情况；(3)平移该抛物线，设平移后的抛物线为L′，抛物线L′的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N(2，－8)，怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？解：(1)抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过C(0，－3)，M(2，－3)两点，代入得3243cbc，解得32cb，∴抛物线L的表达式为y＝x2－2x－3；(2)令x2－2x－3＝0，则b2－4ac＝(－2)2－4×(－3)＝160，∴抛物线L与x轴有两个不同的交点；(3)由题意得，M(2，－3)，N(2，－8)，∴MN∥y轴，MN＝5.∵PQ∥MN∥y轴，∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形．∴设点Q(m，0)，则点P的坐标为(m，－5)，如解图，要使以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，只需PN＝MN＝5，∴（m－2）2＋(－5+8)2＝52，解得m1＝6，m2＝－2.∴点P(6，－5)或(－2，－5)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，第1题解图∴抛物线L的顶点坐标为(1，－4)，∴①当P(6，－5)时，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′；②当P(－2，－5)时，－2－1＝－3，－5－(－4)＝－1.∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到符合条件的抛物线L′.2.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(5，0)，与y轴交于点C(0，154).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴；(3)连接AC，设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)根据题意，设抛物线表达式为y＝a(x＋3)(x－5)，∵抛物线经过点C(0，154)，∴154＝a×3×(－5)，解得a＝－14，∴抛物线的表达式为y＝－14(x＋3)(x－5)＝－14x2＋12x＋154；(2)由(1)得y＝－14x2＋12x＋154，则抛物线的对称轴为x＝－b2a＝－12－24＝1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1；(3)存在.∵以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，∴AC∥EF，且AC＝EF，如解图.第2题解图①当点E在x轴上方时，过点E作EG⊥x轴于点G.∵AC∥EF，∴∠CAO＝∠EFG.又∵∠COA＝∠EGF＝90°，AC＝EF，∴△CAO≌△EFG，∴EG＝CO＝154，即yE＝154，∴154＝－14x2E＋12xE＋154，解得xE＝2(xE＝0时与C点重合，舍去)，∴E点坐标为(2，154)；②当点E′在x轴下方时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′(31＋1，－154).综上所述，存在满足条件的点E的坐标为(2，154)或(31＋1，－154).3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；(2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值；(3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意得04102acbccba，解得121cba，∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋1；(2)由题可知，平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋1－m，∵∠CBD＝90°，点A是CD的中点，AB＝2，∴AC＝AD＝AB＝2，∴C(－1－2，0)，D(－1＋2，0)，将点C的坐标代入y＝x2＋2x＋1－m，解得m＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋2x－1.分两种情况讨论：①当CD为对角线时，如解图，第3题解图连接BA并延长至点E，使AE＝BA，连接CE、DE.可得点E的坐标为(－2，－1)，在抛物线y＝x2＋2x－1中，当x＝－2时，y＝－1，∴点E在平移后的抛物线上，且BE＝CD，∴存在点E(－2，－1)，使四边形BDEC是矩形；②当BD或BC为对角线时，由∠CBD＝90°可知，不存在满足题意的点E.综上所述，平移后的抛物线上存在点E(－2，－1)，使以点C、D、B、E为顶点的四边形是矩形.