山西省应县第一中学校2018-2019学年高二数学下学期期末试题 理

山西省应县第一中学校2018-2019学年高二数学下学期期末试题理时间：120分钟满分：150分一．选择题.1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则A∩B＝()A．(1,2)B．[1,2)C．(2,5]D．[2,5]2．若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为()A.55B.55iC．1D．i3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030附表：P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828经计算K2＝10，则下列选项正确的是()A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响5．已知f12x－1＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A.74B．－74C.43D．－436．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)7．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6B．12C．14D．168．若x2m2－3是－1x4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1,1]9．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负11.若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)12．已知函数f(x)＝kx＋3，x≥0，12x，x＜0，若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1,3]C.－1，－13D.－1，－13二．填空题.13．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：y^＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．14．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－10”是真命题，则k的取值范围是________．15．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)16．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________.三．解答题17．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π6＝53，射线OM：θ＝π6与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．18．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；19.已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝xxf)(－4lnx的零点个数．20.在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．21．某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p＝23，记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率；(2)记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望．22.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．高二期末考试理数答案2019.7一．选择题.1.C2．A3．B4．A5．A6．A7．C8．D9．C10．A11.A12．C∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，∴f(x)＝－1或f(x)＝－1k(k≠0)．(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意；(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－1k无解，即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)＝－1有1个实根，∵f(f(x))－2＝0有3个实根，∴f(x)＝－1k有2个实根，∴1＜－1k≤3，解得－1＜k≤－13.综上，k的取值范围是－1，－13.故选C.二．13．0.24514．(－4,0]15．3016．9f(x)＝|log3x|＝－log3x，0＜x＜1，log3x，x≥1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得0＜m＜1，n＞1，log3n＝－log3m，则0＜m＜1，n＞1，mn＝1，所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝13，则n＝3，所以nm＝9.三．17．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)设P(ρ1，θ1)，则由ρ＝4sinθ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q(ρ2，θ2)，则由2ρsinθ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3..18．(1)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.19(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a0.∵f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，∴a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4lnx＝x－3x－4lnx－2(x0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝x－1x－3x2.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当0x≤3时，g(x)≤g(1)＝－40.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．20.解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为x24＋y2＝1.所以曲线C2的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cosθ，sinθ)，则l＝8cosθ＋4sinθ＝45sin(θ＋φ)，其中sinφ＝25，cosφ＝15所以当θ＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为45，此时θ＝2kπ＋π2－φ(k∈Z)，所以2cosθ＝2sinφ＝45，sinθ＝cosφ＝15，此时A45，15.所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.21．解：(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P＝232×C24232×132＋23×13×23×C23232×13＝1681.(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又p＝23，∴P(ξ＝10)＝C35233×132＋C25232×133＝4081，P(ξ＝30)＝C45234×131＋C15231×134＝3081，P(ξ＝50)＝C55235×130＋C05230×135＝1181，∴ξ的分布列为ξ103050P408130811181∴E(ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝18508122.解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f(x)k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k3－4t3－tt恒成立，即k4t＋9t－15，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3.所以k－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．