山西省应县第一中学校（朔州外国语学校）2019-2020学年高二数学上学期第四次月考试题 理

山西省应县第一中学校（朔州外国语学校）2019-2020学年高二数学上学期第四次月考试题理时间：120分钟满分：150分一．选择题.(5分*12=60分)1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A．3x－y＋1＝0B．3x－y－3＝0C．3x＋y－3＝0D．3x＋y＋3＝02．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝13.椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(32，1)的椭圆的标准方程为()A．x24＋y23＝1B．x22＋y23＝1C．x23＋y22＝1D．y24＋x23＝14．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为32，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为()A．4B．2C．23D．225．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线的斜率为()A．±2B．±2C．±12D．±226．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A．714B．77C．277D．37147．如图，椭圆x2a2＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为()A．2B．3C．4D．58．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.43B.53C.54D.1039．已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于52，以双曲线C的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A．y216－x24＝1B．y2－x24＝1C．y24－x2＝1D．x24－y2＝110．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．355B．2C．115D．311．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.212C．22D．212．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得sin∠MF1F2a＝sin∠MF2F1c，则该椭圆离心率的取值范围为()A．(0，2－1)B.22，1C.0，22D．(2－1,1)二．填空题.13．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是.14．过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.15．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．16．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．三．解答题。17．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，求该椭圆的方程．18．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程．19．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．20．已知圆C过定点F－14，0，且与直线x＝14相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．21．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2AB的面积为1227时，求直线的方程．22．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，左焦点为F(－1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使AE―→·BE―→恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，请说明理由．高二月考四理数答案2019.121D2A3D4C5B6C7B8B9C10B11D12D12.解析：选D在△MF1F2中，|MF2|sin∠MF1F2＝|MF1|sin∠MF2F1，而sin∠MF1F2a＝sin∠MF2F1c，∴|MF2||MF1|＝sin∠MF1F2sin∠MF2F1＝ac.①又M是椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②由①②得，|MF1|＝2aca＋c，|MF2|＝2a2a＋c.显然|MF2||MF1|，∴a－c|MF2|a＋c，即a－c2a2a＋ca＋c，整理得c2＋2ac－a20，∴e2＋2e－10，又0e1，∴2－1e1，故选D.13．32.14.4315.(x－1)2＋y2＝216.22316．解析：由题意知F(1,0)，当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝－，y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10，x20，则x1＋x2＝2k2＋4k2，①x1x2＝1,②1|AF|＋1|BF|＝1x1＋1＋1x2＋1＝x1＋x2＋2x1x2＋x1＋x2＋1＝2k2＋4k2＋21＋2k2＋4k2＋1＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|＝|BF|＝2，故1|AF|＋1|BF|＝1.设|AF|＝a，|BF|＝b，则1a＋1b＝1，所以|AF|＋4|BF|＝a＋4b＝1a＋1b(a＋4b)＝5＋4ba＋ab≥9，当且仅当a＝2b时取等号，故a＋4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x1＋1＝2(x2＋1),③联立①②③得，x1＝2，x2＝12，k＝±22，故直线AB的倾斜角的正弦值为223.17．设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.所以所求椭圆方程为x29＋y23＝1.18．(1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0，因为|MN|＝23，半径r＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN的距离为22－（3）2＝1，即|－4－1＋c|5＝1，所以c＝5±5，所以直线MN的方程为2x－y＋5±5＝0.19．(1)因为e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设F1(－23，0)，F2(23，0)，则MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)．所以MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以MF1→·MF2→＝0.(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝43.由(2)知m＝±3.所以△F1MF2的高h＝|m|＝3，所以S△F1MF2＝12×43×3＝6.20．(1)由题意，点C到定点F－14，0和直线x＝14的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.(2)由方程组y2＝－x，y＝k（x＋1），消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1＋y2＝－1k，y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|，＝12|ON||y1－y2|＝12×1×（y1＋y2）2－4y1y2＝12－1k2＋4＝10，解得k＝±16.21．(1)因为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点1，32，所以1a2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以ca＝12，所以b2a2＝34.②解①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A－1，32，B－1，－32，S△ABF2＝12|AB|·|F1F2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以S△ABF2＝12|y1－y2|×|F1F2|＝|k|（x1＋x2）2－4x1x2＝|k|－8k24k2＋32－4·4k2－124k2＋3＝12|k|k2＋14k2＋3＝1227，所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1k2＝－1817舍去，所以k＝±1，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.22．(1)由已知可得ca＝22，a2＝b2＋c2，c＝1，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋2，由x22＋y2＝1，y＝kx＋2，消去y，整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k1＋2k2，x1x2＝61＋2k2.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－2k2－42k2＋1，y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝42k2＋1.设存在点E(0，m)，则AE―→＝(－x1，m－y1)，BE―→＝(－x2，m－y2)，所以AE―→·BE―→＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2＝62k2＋1＋m2－m·42k2＋1－2k2－42k2＋1＝2－2＋m2－4m＋102k2＋1.要使AE―→·BE―→＝t(t为常数)，只需2－2＋m2－4m＋102k2＋1＝t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0，故2m2－2－2t＝0，m2－4m＋10－t＝0，解得m＝114，从而t＝10516，故存在定点E0，114，使AE―→·BE―→恒为定值10516.