山西省阳泉市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题高二理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2．答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4．考试结束后，将答题卡交回.5．考试时间90分钟，满分100分.第Ⅰ卷（30分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题R:xp，使得20x，则p为（）A．R0x，使得020xB．R0x，使得020xC．R0x,使得020xD．Rx，使得02x2．已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若|PF|=5,则点P的横坐标是()A.－4B.1C.4D.－4或43.已知向量a=(0,3,3)和b=(－1,1,0)分别是直线l和m的方向向量，则直线l与m所成的角为（）A．6B．4C．3D．24．“m0”是“方程1322mymx表示双曲线”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG等于（）A．OCOBOA313131B．OCOBOA413121C．OCOBOA414121D．OCOBOA6141416．与命题“若实数x≠y,则cosx≠cosy”等价的命题是（）(第5题图)A.若实数x=y,则cosx=cosyB.若cosx=cosy,则实数x=yC.若cosx≠cosy,则实数x≠yD.若实数x≥y,则cosx≥cosy7.若直线l：x－y－1=0与椭圆C：1222yx交于A、B两点，则|AB|=()A.322B.223C.423D.3248.若命题,3,0x“都有”022mxx是假命题，则实数m的取值范围是()A．(－,3]B.[－1,+)C.[－1,3]D.[3,+)9．正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯（如图）的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20cm，灯深10cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A．2.5cmB．3.5cmC．4.5cmD．5.5cm（第9题图）10．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线E:22(0)ypxp的准线分别交于A、B两点，若抛物线的焦点为F，且FAFB，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5第Ⅱ卷（70分）二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．已知直线l的一个方向向量为a=(4，2，－2)，平面α的一个法向量为n=(－1，1，t)，若l∥α,则实数t的值是.12.已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F(0,1)，离心率为21e，则该椭圆的方程是.13.在“数学发展史”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测：甲说：我的成绩比乙高；乙说：丙的成绩比我和甲的都高；丙说：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是.14．已知空间四点A（2，－1，1）、B（1,2,3）、C(0，2，1)、D(1，0，λ)在同一平面内,则实数λ=________．15．已知焦点为F的抛物线C:xy42的准线是直线l，若点A(0,－3)，点P为抛物线C上一点，且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为.16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为.17.设21FF、是双曲线C:14922yx的两个焦点，P为双曲线C上一点，若ΔPF1F2是直角三角形，则ΔPF1F2的面积为.18.已知命题p：方程012222xyx表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题q：已知椭圆E：1922xy，过点)21,21(P的直线与椭圆E相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为059yx.则下列四个命题①qpqpqpqp）④（③②);(;;中，是真命题的是（只写出序号）.三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.(本小题8分)已知双曲线C与椭圆E:1244922yx有公共的焦点，且离心率为45e，求双曲线C的方程及其渐近线方程.20.(本小题8分)设集合S=1|axax，T=0)2)(1(|xxx，且命题p：x∈S，q：x∈T，若命题q是p的必要且不充分条件，求实数a的取值范围.21．(本小题10分)已知向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1)．(1)若a∥c，求|c|；(2)若b⊥c，求(a－c)∙(2b+c)的值．22.(本小题10分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD,AD∥BC,侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2.(1)求证：平面SBC平面SAB;(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值.（第22题图）23.(本小题10分)已知圆M：16322yx和点N（3，0），Q为圆上的动点，线段NQ的垂直平分线交MQ于点P，记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点，当△OBC的面积最大时，求直线l的方程．山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试高二理科数学（选修2—1）参考答案与评分标准一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)题号12345678910答案ADCBCBDCAD二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11.－1；12.13422xy；13.甲；14.31；15.10；16.3317.4或3134;18.①②④.三、解答题（本大题共5个小题，共46分.）19.(本小题8分)解：∵椭圆E:1244922yx的焦点为（-5，0）和（5，0），∴c=5,…………………………………………2分∵双曲线C的离心率为45ace，∴a=4,b=3,……………………………………6分∵双曲线C的焦点在x轴上，∴双曲线C的方程为191622yx，渐近线方程为xy43.…………………8分20.(本小题8分)解：∵q：x∈T=0)2)(1(|xxx=21|xxx，或，∴q：x∈∁RT={x|－1≤x≤2},∵命题q是p的必要且不充分条件，∴S是∁RT的真子集,………………………………4分∵S=1|axax∴,21,1aa∴－1≤a≤1,检验知a=－1和1时满足题意，∴实数a的取值范围是[－1,1].………………………………8分21．(本小题10分)解：(1)∵a∥c，∴21422x，∴x=1,………………………………2分∴c=（1，2，－1），|c|=6.………………………………5分(2)∵b⊥c，∴－x+2×0－1×2=0,∴x=－2,………………………………7分∴c=（－2，2，－1），∴a－c=（4,2,－1），2b+c=（－4,2,3），∴(a－c)∙(2b+c)=－15.………………………………10分22.(本小题10分)(1)证明：∵SA平面ABCD,BC平面ABCD，∴SABC，∵ABAD,AD∥BC,∴BCAB,∵SA∩AB=A,∴BC平面SAB,………………………………3分∵BC平面SBC,∴平面SBC平面SAB.………………………………5分(2)解：分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则由SA=AB=BC=2AD=2可知，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),由(1)知BC平面SAB，∴BC为平面SAB的一个法向量,且BC=(2,0,0);设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量，则nDC,nSD,∴n.DC=0,n.SD=0,∵DC=(1,2,0),SD=(1,0,-2),∴,02,02zxyx令z=1,则x=2,y=-1,∴n=(2,-1,1),………………………………8分设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ，则∴|cosθ|=|cosBC,n|=36624,∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为36.………………………………10分23.(本小题10分)解：（1）由题意可知，M（-3，0），|MQ|=4,|MN|=23，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4|MN|,∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆，且2a=4,c=3,∴a=2,b=1,………………………………2分∴曲线E的方程为1422yx.………………………………4分（2）由题意可知，直线l存在斜率，不妨设为k,则l：y=kx+2,且设B(x1，y1)、C(x2,y2),于是,14,222yxkxy，∴012161422kxxk，∴Δ=0141241622kk∴4k2-30，∴23,k∪，23，且1416221kkxx，1412221kxx，………………………………6分∴|BC|=1448141612222kkkk=143414222kkk，∵点O到直线l的距离为d=122k，且4k2-30，∴SΔOBC=21122k×143414222kkk=34434422kk≤1，……8分当且仅当3443422kk时，即k=27时，SΔOBC最大为1，此时，直线l的方程为y=27x+2.………………………………10分