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山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题理时间:120分钟满分:150分命卷人:审核人:一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、集合,,则()A.B.C.D.2、已知复数（是虚数单位），，则（）A.B.C.D.3、已知曲线,直线,则是直线与曲线相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为()A.B.C.D.5、若，且，则等于（）A.B.C.D.6、中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为为,则在区间上可以用二次函数来近似代替:,其中,若令,请依据上述算法,估算的值是()A.B.C.D.7、已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（）A.B.C.D.8、执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（）A.10B.11C.12D.139、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.10、由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于的个数为（）A.B.C.D.11、圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”.事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法：画一个等边三角形，分别以，，为圆心，边长为半径，作圆弧，，，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形（如图1）.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（）A.B.C.D.12、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知向量，向量．若向量在向量方向上的投影为，则实数__________．14、已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是__________.15、若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________．16、若在有恒成立，则的取值范围为__________三、解答题(第17题~第21题，每小12分,第22题10分,共6小题70分)17、已知分别为三个内角的对边，，.（1）求；（2）若是的中点，，求的面积.18、已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19、如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为的正三角形，（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.20、已知椭圆过点,两个焦点为,,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)直线过点,且与椭圆相交于、两点,求三角形面积的最大值.21、某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修学分分数的分布列及期望.22、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，求线段的最小值.同煤二中联盟体高三模拟理科数学试题答案解析第1题答案B第1题解析或,或,或.第2题答案B第2题解析由题意可知：，因此，化简得，，则，由可知，仅有满足.第3题答案A第3题解析,直线过定点,且曲线也过点,若直线与曲线相切,设切点横坐标为,则切线为,则,解之或,所以是直线与曲线相切的充分不必要条件.第4题答案D第4题解析因为，∴，，，∴，∴.第5题答案A第5题解析由，则，所以，又由三角函数的基本关系式，且，解得，所以，故选A.第6题答案C第6题解析设,则有,则,由,可得,故选C.第7题答案D第7题解析因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率．因为切线与直线垂直，所以，即，，所以，所以，所以，故应选．第8题答案B第8题解析，即，，所以输出的值为11.第9题答案B第9题解析如图，这是三棱锥的三视图，平面平面，尺寸见三视图，，，，，所以，所以表面积．故选B．第10题答案C第10题解析分两种情况：（）个位与百位填入与，则有个；（）个位与百位填入与，则有个．则共有个..．第11题答案D第11题解析设鲁列斯曲边三角形的宽度为，则该鲁列斯曲边三角形的面积为，所以所求概率.第12题答案C第12题解析由可知点为的中点．为右焦点.连结，可得且，.又，∴.在三角形中．，∴.故选C.第13题答案第13题解析根据投影的定义可知．第14题答案第14题解析抛物线的准线方程为，设，过点作准线的垂线，如图，由抛物线的定义可知，，，，设直线的方程为，由，得，，的面积.第15题答案4第15题解析因为的展开式中二项式系数的和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，当时，为自然数，所以有理项的个数为4.第16题答案第16题解析采用分离常数法求解，恒成立即在上恒成立，令，则，∴在递增，在上递减，，，故在上，∴...第17题答案(1);(2).第17题解析（1）由可得，…………………………………………1分即有，………………………………………………………………………………………………3分因为，∴，∴，∴.…………………………4分（2）设，则，由，可推出①，………………………………6分因为，所以，…………………………7分由可推出②，…………………………………9分联立①②得，故，…………………………………………………………………11分因此．………………………………………………………12分第18题答案（1）（2）第18题解析（1）函数的定义域为，，………………………………………1分在上递减，在上递增，………………………………………………………………3分所以当时，取最小值且为…………………………………………4分（2）问题等价于：对恒成立，………………………………………………5分令，则，…………………………………………………………………7分因为，所以，………………………………………………………………………………9分所以在上单调递增，…………………………………………………………………………………11分所以，所以………………………………………………………12分第19题答案见解答第19题解析（Ⅰ）取的中点，连接，∵是边长为的正三角形，∴①……………………………1分又，∴，且，于是，从而，②………………………………………2分由①②得平面，………………………………………………………………………………………3分而平面，∴平面平面.………………………………………………4分（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，，所以是的中点.…………………………………………5分由（Ⅰ）知，、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则∴得，从而，……………………………………………6分设是平面的一个法向量，则由取，得，………………………………………………………………8分易知平面的一个法向量是，……………………………………………………9分∴………………………………………………………………11分由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.…………………………………………………………………………………………12分第20题答案见解析第20题解析由题意,,设椭圆方程为,因为在椭圆上,所以,……………………………………………………………………2分解得,(舍去),所以椭圆方程为,………………………………………4分设直线为:,,,则,………………6分所以,…………………………………………………………8分令,则,所以,……………………………………………………10分而在上单调递增,所以.当时取等号,即当时,的面积最大值为.…………………………………12分第21题答案（1）；（2）分布列见解析，.第21题解析（1）依题，，解得.………………………………………4分（2）由题令该新同学社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量，则的值可以为0,1,2,3,4,5,6而；；；；；；；这样的分布列为0123456…………………………………………11分于是.…………………………………………12分第22题答案（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.第22题解析（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为.……………………………2分将代入到中，得，即曲线的直角坐标方程为.………………………………………………………………5分（2）因为是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，所以可设点，线段的最小值即点到直线的距离的最小值，……………………………………………7分所以，……………………………………………………9分当时，，即.…………………………………………………10分