山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期阶段性检测（4月）试题 文（含解析）

山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期阶段性检测（4月）试题文（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.下面关于复数的四个命题：的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为的虚部为-1其中的真命题是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，命题为假命题；，其在复平面内对应的点的坐标为命题为真命题；的虚部为，命题为假命题；，命题为真命题；综上可得：真命题是.本题选择C选项.3.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（）A.计算数列的前10项和B.计算数列的前9项和C.计算数列的前10项和D.计算数列的前9项和【答案】B【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞9不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞9不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞9不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞9不成立，执行S=1+2+22+…+28，i=9+1=10；判断i＞9成立，输出S=1+2+22+…+28．算法结束．故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意可知：两人选课的方案有种，满足他们选择的两门功课都不相同的事件有种，由古典概型公式可得：他们选择的两门功课都不相同的概率为.本题选择A选项.5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故球的表面积，故选D.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7.若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（）A.1B.2C.-2D.-1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z＝ax+3y为y．当a＞0时，由图可知，当直线y过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2；若过C，则a+6＝7，解得a＝1不合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2，不合题意；若过B，则4a+15＝7，解得a＝﹣2，不合题意．∴a的值为2．故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．8.已知函数，则A.在（0，2）单调递增B.在（0，2）单调递减C.的图像关于直线x=1对称D.的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．9.函数图象的大致形状是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．10.若双曲线上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，又∵，∴．考点：双曲线的离心率．11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A.函数图象的对称轴方程为B.函数的最大值为C.函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D.方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和的值，写出f（x）的解析式，求出f′（x），写出g（x）＝f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f（x）＝Asin（ωx+）的图象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根据五点法画图知，当x时，ωx+，∴，∴f（x）＝2sin（x）；∴f′（x）＝2cos（x），∴g（x）＝f（x）+f′（x）＝2sin（x）+2cos（x）＝2sin（x）＝2sin（x）；令xkπ，k∈Z，解得xkπ，k∈Z，∴函数g（x）的对称轴方程为xkπ，k∈Z，A正确；当x2kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值2，B正确；g′（x）＝2cos（x），假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，则k＝g′（x0）＝2cos（x0）＝3，解得cos（x0）1，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g（x）＝2，则2sin（x）＝2，∴sin（x），∴x2kπ或x2kπ，k∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1﹣x2|的最小值为，D正确．故选：C．【点睛】本题考查了由y＝Asin（ωx+）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．12.已知函数，若函数在上无零点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【详解】解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），则l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），则m′（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.已知，是互相垂直的单位向量，若与夹角为30o，则的值为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得∴，，再由与夹角为30o列式求得实数λ的值．【详解】解：∵，是互相垂直的单位向量，∴，．又与夹角为30o，（）•（），||，||．∴cos30，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角得求法，是中档题．14.埃及数学家发现了一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他形如(n＝5，7，9，…)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式，例如.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人得，不够分，每人得，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．故我们可以得出形如(n＝5，7，9，11，…)的分数的分解：，，，…，按此规律＝________．【答案】【解析】试题分析：假设有个面包，要分给个人每人分不够，每人分则余，再将分成份，每人得这样每人分得，故答案为.考点：归纳推理的应用.15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】【解析】试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．考点：圆锥的体积.16.各项均为正数的数列和满足：，，成等差数列，，，成等比数列，且，，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由题设可得，代入，即，则是首项为的等差数列。又，故，则公差，所以，即，则，所以，应填答案。点睛：本题的求解思路是充分借助题设条件，巧妙地将已知条件等价转化为，进而运用等差数列的定义证明数列是首项为2，公差为的等差数列，然后再运用等差数列的通项公式求出，进而借助求出使得问题获解。三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．（1）求线段的长；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；（II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以，，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析：（1）因为，，所以．由余弦定理得，所以，即，在中，，，所以，所以．（2）因为是的平分线，所以，又，所以，所以，，又因为，所以，所以．18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，M在线段上，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理结合勾股定理可得，由平面，得。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）取是的中点，先证明平面，即可证明平面，然后根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：在中，，，，由余弦定理得．所以，从而有.由平面，得.所以平面.（Ⅱ）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形，，则.在中，，分别是，的中点，则，所以.因为平面，所以平面.又平面，所以平面平面..V=.【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案