山西省太原市第五中学2019-2020学年高二数学上学期10月阶段性检测试题 理

山西省太原市第五中学2019-2020学年高二数学上学期10月阶段性检测试题理一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列命题正确的是()A.棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形C.棱柱的侧棱不一定相等D.—个棱柱至少有五个面2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，上底为1，腰为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.22B.22C.42D.823.已知两条不同的直线mn、，和平面，下列结论正确的是()①//,mnn，则m；②//,//mn，则//mn；③,mn，则//mn；④m与平面所成角的大小等于n与平面所成角的大小，则//mn.A.①③B.①②C.②③D.①④4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为236222，，，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.10π5.在正方体1111ABCDABCD中，E是棱1BB的中点，用过点1AEC、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是()A．B．C．D．6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM//平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③7.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是()A．96B．72C．64D．588.在平面四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，将△ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC⊥平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为()A．3B．6C．56D．239.如图，平面四边形ABCD中，EF、是ADBD、的中点，=2ABADCD，22BD，90BDC，将△ABD沿对角线BD折起至△ABD，使平面ABD⊥平面BCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是()A．EF//平面ABCB．异面直线CD与AB所成的角为90°C．异面直线EF与AC所成的角为60°D．直线AC与平面BCD所成的角为30°10.如图,直三棱柱111ABCABC中,侧棱长为2，=1ACBC，=90ACB，D是11AB的中点，F是1BB上的动点，1ABDF、交于点E.要使1AB⊥平面1CDF，则线段1BF的长为()A．12B．1C．32D．2二、填空题（每小题4分，共20分）11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为.12.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O是ABC的心.13.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是边形.14.如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB，1=23AA，DF、分别是棱AB、1AA的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为.15.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA3，SB32，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为.三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证:C1F∥平面ABE.17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD，PA3.(1)求证:BE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.18.（10分）在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在棱AB、CD上，且AE＝CF＝1.(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；(2)求四面体EFC1A1的体积．19.（10分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且2PCBCAD222CD，2PA．(1)PA⊥平面ABCD；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高二数学（理）出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（2019.10.17）B1C1D1A1DCBAEFADCBPM一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列命题正确的是()A.棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形C.棱柱的侧棱不一定相等D.—个棱柱至少有五个面【答案】DA不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B不对，三棱柱的底面是三角形；C不对，棱柱的侧棱一定相等；D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,故选D.2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，上底为1，腰为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.22B.22C.42D.82【答案】C依题意，四边形ABCD是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形，过C,D分别做，，则和为斜边长为的等腰直角三角形，所以AE=DE=BF=1，又EF=CD=1，梯形ABCD的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即：.故选C.3.已知两条不同的直线mn、，和平面，下列结论正确的是()①//,mnn，则m；②//,//mn，则//mn；③,mn，则//mn；④m与平面所成角的大小等于n与平面所成角的大小，则//mn.A.①③B.①②C.②③D.①④【答案】A②不对，因为直线可能平行可能相交也可能异面；④不对，线m,n可能平行可能相交也可能异面；故选A.4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为236222，，，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.10π【答案】B三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PAaPBbPCc，，，则121316,,222222abbcca，解得,2,1,3abc.则长方体的对角线的长为222ab6c.所以球的半径长R=62，则球的表面积S=4πR2=6π，故选B.5.在正方体1111ABCDABCD中，E是棱1BB的中点，用过点1AEC、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是()A．B．C．D．【答案】A剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A．6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③【答案】B对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．故选B.7.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是()A．96B．72C．64D．58【答案】C如图所示，多面体切割为两个三棱锥E﹣AGD，F﹣HBC和一个直三棱柱GAD﹣HBC，因为，且到平面ABCD的距离为6，，所以这个“羡除”体积为．故选C．8.在平面四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，将△ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC⊥平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为()A．3B．6C．56D．23【答案】B，则AC=，平面平面，交线为AC，BCAC，所以BC面ACD，所以即为直线与平面所成角，cos=，所以=，故选B.9.如图，平面四边形ABCD中，EF、是ADBD、的中点，=2ABADCD，22BD，90BDC，将△ABD沿对角线BD折起至△ABD，使平面ABD⊥平面BCD，则四面体ABCD中，下列结论不正确的是()A．EF//平面ABCB．异面直线CD与AB所成的角为90°C．异面直线EF与AC所成的角为60°D．直线AC与平面BCD所成的角为30°【答案】C因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误；因为平面平面，连接，则，所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴，又，sin，∴，D正确；故选C．10.如图,直三棱柱111ABCABC中,侧棱长为2，=1ACBC，=90ACB，D是11AB的中点，F是1BB上的动点，1ABDF、交于点E.要使1AB⊥平面1CDF，则线段1BF的长为()A．12B．1C．32D．2【答案】A设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.二、填空题（每小题4分，共20分）11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为.【答案】4:912.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O是ABC的心.【答案】外心13.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是边形.【答案】选在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形．14.如图，在正三棱柱111ABCABC中，2AB，1=23AA，DF、分别是棱AB、1AA的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为.【答案】15.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA3，SB32，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为.【答案】212三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证:C1F∥平面ABE.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面A