山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）文（含解析）

山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）文（含解析）一、选择题。1.已知i是虚数单位，则复数221i（）A.1B.1C.iD.i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意222121iiiiiii，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法运算，属于基础题.2.已知集合21,2,4,8,|log,AByyxxA，则AB（）A.12，B.0123，，，C.123，，D.03，【答案】A【解析】【分析】先求得集合B的元素，由此求得两个集合的交集.【详解】依题意0123B，，，，故1,2AB,故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.3.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的18a，42b，则输出的a（）A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出a的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，18和42的最大公约数是6，故输出6a，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.4.已知1,3ab，且3abab，则向量a与b的夹角为（）A.60°B.120°C.30°D.150°【答案】D【解析】【分析】根据3abab，得到30abab，化简后求得两个向量的夹角.【详解】由于3abab，所以30abab，即22340aabb，3343cos,0ab，63cos,243ab，所以,150ab，故选D.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积的运算和夹角的求法，属于基础题.5.已知双曲线的一条渐近线方程为2yx，且经过点2,25，则该双曲线的标准方程为（）A.2214xyB.2214yxC.2214yxD.2214xy【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为12yx，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为2yx，且过点2,25，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为2yx，但不过点2,25，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为12yx，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.6.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A.203B.163C.4D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图得出原图，由此计算出几何体的体积.【详解】画出三视图对应的几何体如下图所示三棱锥11FBDE，根据三棱锥体积计算公式得所求体积为11243432V，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体的体积计算，属于基础题.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药104555没服用药203050总计3075105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd；20PKk0.050.0250.0100.0050k3.8415.0246.6357.879①能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】计算出2K的值，由此判断出正确结论的个数.【详解】依题意22105103020456.10930755055K，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效,不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即①④结论正确，本小题选B.【点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知0,,0,22，且2sin2cos2cos1sin，则下列结论正确的是（）A.22B.22C.2D.2【答案】A【解析】【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简2sin2cos2cos1sin，由此得出正确结论.【详解】有2sin2cos2cos1sin，得22sincoscos2cos1sin，sincoscossincos，πsincossin2，由于0,,0,22，所以ππ,222，故选A.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.9.已知点P是圆2221xy上的动点，点Q是椭圆2219xy上的动点，则PQ的最大值为（）A.3612B.131C.231D.4【答案】A【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标3cos,sinQ，然后计算圆心0,2O到Q点距离的最大值，再加上半径，求得PQ的最大值.【详解】圆的圆心为0,2O，半径为1，设椭圆上任意一点的坐标3cos,sinQ，则2229cos2sin8sin4sin13OQ，sin1,1，根据二次函数性质可知，当1sin4时，max273622OQ.故PQ的最大值为max36112OQ，故选A.【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查两个曲线上点的距离的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知实数,xy满足20360xyxyxy，则11yxzx的取值范围为（）A.3,2,2B.1,3,2C.32,2D.13,2【答案】B【解析】【分析】11yzx表示的是可行域内的点,xy与1,0连线的斜率减去1.画出可行域，求得斜率的取值范围，减去1求得z的取值范围.【详解】11yzx表示的是可行域内的点,xy与1,0连线的斜率减去1.画出可行域如下图所示，32ABk，2ACk，即,xy与1,0连线的斜率取值范围是3,2,2，再减去1得1,3,2，故选B.【点睛】本小题主要考查斜率型线性规划的目标函数取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知点1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，1e，2e分别是1C和2C的离心率，点P为1C和2C的一个公共点，且1223FPF，若2(2,7)e，则1e的取值范围是（）A.52,53B.225,35C.57,53D.725,35【答案】D【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用22,7e，求得1e的取值范围.【详解】设12,PFmPFn,不妨设P在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有1222mnamna，故22221222mnaa，2212mnaa.在三角形12FPF中，由余弦定理得2224cmnmn，即2221243caa①.由于22,7e，即2221127,,2277acccaac，故222274cca，由①得222214374ccca，即22212221437434ccacca，解得1725,35e【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查余弦定理，考查椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.12.已知函数221,101,01xxfxxx且满足110,1xfxfxgxx,则方程fxgx在3,5上所有实根的和为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根据110fxfx得到函数的周期为2，画出函数fx和gx的图像，由此求得fxgx在3,5上所有实根的和.【详解】由于110fxfx，故函数fx的周期为2，画出fx和gx的图像如下图所示.注意到函数fx和111gxx都关于1,1A中心对称.所以fxgx在3,5的四个交点的横坐标，也即所有实根关于1x对称，根据中点坐标公式可得所有实根的和为224【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查函数图像的对称性，属于中档题.二、填空题。13.若圆22220xyxyF的半径为1，则F______。【答案】1【解析】【分析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得F的值.【详解】圆的半径为224444144DEFF，解得1F.【点睛】本小题主要考查圆的半径计算公式，属于基础题.14.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_____。【答案】13【解析】【分析】先列举出所有可能的基本事件总数，然后计算志愿者甲和乙被分到同一场所包含的基本事件数，再根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】设甲为1，乙为2，另外两名志愿者为3,4.将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：场馆1场馆212（甲乙一起）3413241423231424133412（甲乙一起）共6种，其中甲乙一起的有2种，故概率为2163.【点睛】本小题主要考查利用列举法求解古典概型概率问题，属于基础题.15.已知,,abc分别是ABC的内角,,ABC的对边，2222coscosbcacCcAa，且32ABCS，则ABC周长的最小值为_____。【答案】32【解析】【分析】化简2222coscosbcacCcAa，求得A角的大小，用三角形的面积公式列式，然后利用基本不等式求得周长的最小值.【详解】由2222coscosbcacCcAa得2222coscosbccaCcAabca，222abcbc故2221πcos,223bcaAAbc.由三角形面积公式得13sin,222bcAbc.所以三角形的周长222abcbcbcbc222224bcbc22242832bcbc，当且仅当2abc时，等号成立.故周长的最小值为32.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.16.已知三棱锥PABC外接球的表面积为10，PA面0,4,30ABCPABAC，则该三棱锥体积的最大值为____。【答案】723【解析】【分析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形ABC外接圆的半径，根据正弦定理求得BC的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形ABC面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中O是外接球的球心，1O是底面三角形ABC的外心，1122OOPA.设球的半径为R，三角形ABC外接圆的半径为r，则24π100π,5RR，故在1RtOA