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太原市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题。1.下列事件中，随机事件的个数为（）（1）明年1月1日太原市下雪；（2）明年NBA总决赛将在马刺队与湖人队之间展开；（3）在标准大气压下时，水达到80摄氏度沸腾.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】对选项逐个分析，（3）为不可能事件，（1）（2）为随机事件，满足题意。【详解】（1）（2）对应的事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，（3）在标准大气压下时，水达到100摄氏度沸腾，达到80摄氏度不可能沸腾，故为不可能事件，故答案为C.【点睛】本题考查了随机事件的判断，考查了学生对概念的掌握情况，属于基础题。2.某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，则这组数据中众数的估计值是：（）A.100B.101C.102D.103【答案】B【解析】【分析】由众数是最高的小矩形的底面中点横坐标，即可得到答案。【详解】由图可知，对应的长方形最高，故众数为它所对应矩形底面中点的横坐标，即为101，故答案为B.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了众数，考查了学生对基础知识的掌握。3.某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A.随机数法B.分层抽样法C.抽签法D.系统抽样法【答案】B【解析】【分析】结合分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质，可选出答案。【详解】由于为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，这种抽样方法属于分层抽样，故选B.【点睛】本题考查了抽样方法的判断，考查了学生对分层抽样、随机数法、抽签法、系统抽样的定义和性质的掌握，属于基础题。4.已知随机事件和互斥，且，，则（）A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8【答案】A【解析】【分析】由，可求出，进而可求出.【详解】因为事件和互斥，所以,则，故.故答案为A.【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题。5.下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则，的值为（）A.8，2B.3，6C.5，5D.3，5【答案】D【解析】【分析】由茎叶图可得，甲的中位数是65，从而可知乙的中位数也是65，可得到，再利用二者平均数也相等，可求出的值，即可得到答案。【详解】由题意可知，甲的中位数为65，则乙的中位数也是65，故，因为甲乙的平均数相等，所以，解得.故答案为D.【点睛】本题考查了茎叶图的知识，考查了中位数与平均数的求法，考查了学生对基础知识的掌握。6.已知函数，则其零点在的大致区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数是定义域上的增函数，然后由，，，可判断出零点所在区间。【详解】由题意可知，函数为单调递增函数，，，，故函数的零点的大致区间为.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了函数的单调性，属于基础题。7.下列结论正确的是（）A.函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内无零点B.函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内可能有零点，且零点个数为偶数C.函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内必有零点，且零点个数为奇数D.函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内必有零点，但是零点个数不确定【答案】D【解析】【分析】结合函数零点存在定理，对选项逐个分析，排除错误选项，可得到正确答案。【详解】对于选项A，取函数，在区间上满足，而函数在区间上有两个零点2和-2，故选项A错误；对于选项B，取函数，在区间上满足，而函数在区间上有1个零点0，不是偶数，故选项B错误；对于选项C，取函数，在区间上满足，而函数在区间上有2个零点，分别为0和2，不是奇数，故选项C错误；对于选项D，函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，若，则函数在区间内必有零点，但是零点个数不确定，符合零点存在定理，故正确。故答案为D.【点睛】本题考查了函数零点存在定理，考查了学生对函数零点问题的掌握情况，属于中档题。8.经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率。【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.故答案为A.【点睛】本题考查了利用随机模拟数表法求概率，考查了学生对基础知识的掌握。9.已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长度变成，据此可列出不等式。【详解】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可。【点睛】本题考查了利用二分法求函数的零点，考查了精确度与区间长度和计算次数之间的关系，属于基础题。10.在边长分别为3，3，的三角形区域内随机确定一个点，则该点离三个顶点的距离都不小于1的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出满足题意的图形，分别求出三角形的面积和阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式即可求出答案。【详解】如下图，中,，过点作边的垂线，垂足为，则,，则,作出如下图的三个半径为1的扇形，则图中阴影部分的点到三个顶点的距离都不小于1，设扇形的面积为，则，设阴影部分面积为，则，故该点离三个顶点的距离都不小于1的概率是,故答案为B.【点睛】本题考查了利用几何概型的概率公式求概率，考查了三角形面积与扇形面积的计算，属于中档题。11.下列说法正确的是（）A.对任意的，必有B.若，，对任意的，必有C.若，，对任意的，必有D.若，，总存在，当时，总有【答案】D【解析】【分析】结合指数函数，对数函数，幂函数的性质，对选项逐个分析，利用特殊值法可排除错误选项。【详解】对于选项A，取，则，，不满足，故A错误；对于选项B，取，，，则，，故选项B错误；对于选项C，取，则，故选项C错误；故选项D一定正确。（选项D中，，可知和都是增函数，同时二者图象关于直线对称，而函数，也是增函数，当足够大时，指数函数的增长速度最大，对数函数的增长速度最慢，故存在，当时，总有.）【点睛】本题考查了指数函数，对数函数及幂函数的性质，考查了学生对函数知识的掌握，属于中档题。12.已知函数，若存在实数，使得关于的方程有两个不同的根，，则的值为（）A.1B.2C.4D.不确定【答案】C【解析】【分析】有两个不同的根，，设，可得到，，计算可得的值。【详解】由题意，有两个不同的根，，设，则，，则，，故，故选C.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了对数函数的性质，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。二、填空题。13.若，，，则这三个数字中最大的是___【答案】【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。【详解】，，，故最大。【点睛】本题考查了不同进制间的转化，考查了学生的计算能力，属于基础题。14.执行下图所示的程序框图，则输出的结果是______【答案】16【解析】【分析】运行程序，当时，不成立，输出.【详解】程序开始运行，，判断成立，则，判断成立，则，判断成立，则，判断成立，则，判断不成立，则输出.【点睛】本题考查了程序框图，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题。15.下表记录了某公司投入广告费与销售额的统计结果，由表可得线性回归方程为，据此方程预报当时，__.423549263954附：参考公式：，【答案】65.5【解析】【分析】根据表中数据，先求出回归方程，然后将代入，可得到答案。【详解】由题意，，，，，，，故回归方程为，当时，.【点睛】本题考查了回归方程的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。16.已知函数，，且，给出下列结论：（1），（2），（3），（4），（5），则上述正确结论的序号是____.【答案】（2）（5）【解析】【分析】利用函数的单调性及零点的定义可求出的范围，通过函数的对称性，可求出，从而得到答案。【详解】因为函数，，都是增函数，所以，都是增函数。，，即，，，即，则，故（2）正确，（1）错误；因为，所以（3）（4）都错误；令，，则，，由于函数，和都相交，且和关于对称，也关于对称，和的交点为，则，即（5）正确。故答案为（2）（5）【点睛】本题考查了函数的零点知识，考查了指数函数、对数函数的性质，考查了函数图象的对称性，属于难题。三、解答题（解答应写出必要的文字说明，过程或演算步骤）17.如图所示的茎叶图，是随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：）获得的数据。（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高。（2）计算甲班的样本方差。【答案】（1）乙班（2）57.2【解析】【分析】（1）分别根据茎叶图求出两个班的平均身高，比较大小即可得到答案；（2）利用方差公式计算即可。【详解】（1）甲班的平均数，乙班的平均数，故乙班的平均身高较高；（2）利用方差公式得甲班的样本方差为：，【点睛】本题考查了茎叶图知识，考查了平均数与方差的求法，考查了计算能力，属于基础题。18.在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一，第三，第四，第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）补齐图中频率分布直方图，并求这两个班参赛学生的总人数；（2）利用频率分布直方图，估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数.【答案】（1）补图略，100（2）平均数为66.5分，中位数为64.5分【解析】【分析】（1）由频率之和等于1，可求出第二小组的频率，即可补全频率分布直方图，进而可以求出总人数；（2）结合频率分布直方图中平均数和中位数的求法，求出即可。【详解】（1）第二小组的频率为，所以补全的频率分布直方图如图.这两个班参赛学生的总人数为人.（2）本次比赛学生成绩的平均数为:中位数出现在第二组中，设中位数为，则，所以估计本次比赛学生成绩的平均数为66.5分，中位数为64.5分.【点睛】本题考查了频率分布直方图的知识，考查了平均数与中位数的求法，属于基础题。19.一袋中有3个红球，2个黑球，1个白球，6个球除颜色外其余均相同，摇匀后随机摸球，（1）有放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率；（2）不放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有放回，每次抽取概率保持不变，分两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到黑球或白球，②第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的概率，然后相加即可；（2）无放回，每次抽取概率发生变化，分两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到黑球或白球，②第一次摸到黑球或者白球，第二次摸到红球，然后分别求出两种情况的概率，然后相加即可。【