山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二数学上学期期中试题文一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.以点A(-5,4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是()A.(x+5)2+(y-4)2=25B.(x+5)2+(y-4)2=16C.(x-5)2+(y+4)2=16D.(x-5)2+(y+4)2=252.若直线2x+my=2m-4与直线mx+2y=m-2垂直,则()A.m=2B.m=-2C.m=0D.m∈R3.若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列命题(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2;(2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;(3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;(4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.44.直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切5.设圆C:(x-5)2+(y-3)2=5,过圆心C作直线l与圆交于A,B两点,与x轴交于P点,若A恰为线段BP的中点,则直线l的方程为()A.x-3y+4=0,x+3y-14=0B.2x-y-7=0,2x+y-13=0C.x-2y+1=0,x+2y-11=0D.3x-y-12=0,3x+y-18=06.长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.2B.C.5D.67.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是()A.B.C.D.8.若a0且a≠1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1),则M,N的大小关系为()A.MNB.M≤NC.MND.M≥N9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为()A.2B.2C.4D.810..已知一元二次不等式f(x)0的解集为,则f(10x)0的解集为()A.{x|x-1或x-lg2}B.{x|-1x-lg2}C.{x|x-lg2}D.{x|x-lg2}11.已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点,则|MN|等于()A.B.C.D.212.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.3二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.经过点A(1,1)和点B(-3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a,-7)的直线l2平行,则a=________.14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2x+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.15.若对任意x0,≤a恒成立,则a的取值范围为________.16.动点P在平面区域C1:x2+y2≤2(|x|+|y|)内,动点Q在曲线C2:(x-4)2+(y-4)2=1上,则平面区域C1的面积为________,|PQ|的最小值为________.三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分)17.求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.18..已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)xy的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.19.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).(1)求AB的中垂线方程;(2)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l,若反射光线过点A,求反射光线所在直线的方程.20.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表:某食物营养研究所想用x千克甲种食物,y千克乙种食物,z千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素B.(1)用x、y表示混合食物成本C;(2)确定x、y、z的值,使成本最低.21.如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.22.已知⊙O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程;(3)设P为(2)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.高二文科数学期中答案解析1.B【解析】∵所求的圆以点A(-5,4)为圆心且与x轴相切,∴所求圆的半径R=4,∴圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=16,故选B.2.【答案】C【解析】当m=0时,两直线对应的方程分别为x=-2和y=-1,满足两直线垂直.当m≠0时,两直线对应的方程分别为y=-+2-和y=,若满足两直线垂直,则对应的斜率之积为·=1≠-1,∴此时不成立.故m=0,故选C.3.【答案】C【解析】(1)当两直线都垂直与x轴,得到l1∥l2,但是两斜率不存在,此命题错误;(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等即tanα1=tanα2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,此命题正确;(3)因为l1∥l2,根据两直线平行,得到α1=α2,此命题正确;(4)因为两直线的倾斜角α1=α2,根据同位角相等,得到l1∥l2,此命题正确;所以正确的命题个数是3,故选C.4【答案】D【解析】由题设知圆心到直线的距离d=,而(a+b)2≤2(a2+b2),得d≤,圆的半径r=,所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切.故选D.5.【答案】C【解析】∵圆C:(x-5)2+(y-3)2=5,∴C(5,3),∵过圆心C作直线l与圆交于A,B两点,∴设直线l的方程为y-3=k(x-5),令y=0,得x=5-,即P(5-,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去x可得(1+)y2-6(1+)y++4=0,由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2==,①∵A为BP的中点,∴=y1,即y2=2y1,②把②代入①可得y2=4,y1=2,y1y2==8,∴k=±,∴直线l的方程为y-3=±(x-5),即x-2y+1=0或x+2y-11=0,故选C.6.【答案】C【解析】设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,由题意可知,4(a+b+c)=24,①2ab+2bc+2ac=11,②由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25,则这个长方体的一条对角线长为5,故选C.7.【答案】D【解析】由题意几何体的体积,就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积,V正方体-8V三棱锥=1-8×××××=.故选D.8.【答案】C【解析】当a1时,a3+1a2+1,此时,y=logax为(0,+∞)上的增函数,∴loga(a3+1)loga(a2+1);当0a1时,a3+1a2+1,此时,y=logax为(0,+∞)上的减函数,∴loga(a3+1)loga(a2+1),∴当a0且a≠1时,总有MN.9.【答案】C【解析】由题意知,l=(r+R),S圆台侧=π(r+R)·l=π·2l·l=32π,∴l=4.10.【答案】D【解析】由已知条件010x,解得xlg=-lg2.11.【答案】D【解析】直线过圆心(0,0),因此弦长为直径长.12.【答案】B【解析】由已知得z=x2-3xy+4y2(*)则==≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以+-=+-=-2+1≤1.13.5214.【答案】0.【解析】将两圆方程相减可得x+ay-1=0,即两圆公共弦所在直线方程为x+ay-1=0.将圆x2+y2+2x+2ay-6=0(a>0)变形为(x+1)2+(y+a)2=a2+7,可知圆心为(-1,-a),半径为.圆心(-1,-a)到公共弦的距离为d==,则2+()2=a2+7,解得a2=0,则a=0.14.【答案】【解析】∵x0,∴0,易知a0.∴≥,∴≤x++3.∵x0,x++3≥2+3=5(x=1时取等号),∴≤5.∴a≥.16.【答案】8+4π2-1【解析】C1:由x2+y2-2|x|-2|y|≤0,得或或或∴平面区域C1的面积为(2)2+2π()2=8+4π.易得A(1,1),B(4,4),AB==3,∴PQ的最小值为AB--1=2-117.【答案】如图等边△ABC为圆锥的轴截面,截球面得圆O.设球的半径OE=R,OA==2OE=2R,∴AD=OA+OD=2R+R=3R,BD=AD·tan30°=R,.....................................................5分∴V球=πR3,V圆锥=π·BD2×AD=π(R)2×3R=3πR3,则V球∶V圆锥=4∶9................10分18.(每小题4分,共12分)19.(每小题4分,共12分)20.【答案】x=50千克,z=30千克时成本最低.【解析】(1)依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y.∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400(元)................................................4分(2)依题意∵z=100-x-y,∴作出不等式组所对应的可行域,如下图所示.联立⟹交点A(50,20).作直线7x+5y+400=C,则易知该直线截距越小,C越小,所以该直线过A(50,20)时,直线在y轴截距最小,从而C最小,此时7×50+5×20+400=C=850元.∴x=50千克,z=30千克时成本最低.......................................................12分21.22.(每小题4分,共12分)(1)若直线l的斜率不存在,显然不合题意;设切线l方程为y-2=k(x-4),易得=1,解得k=.∴切线l方程为y-2=(x-4).(2)圆心到直线y=2x-1的距离为,设圆的半径为r,则r2=22+()2=9,∴⊙M的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为λ,根据题意可得PQ=,∴=λ,即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2),(*)又点P在圆M上,∴(x-4)2+(y-2)2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得:8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)]若系数对应相等,则等式恒成立,∴解得a=2,b=1,λ=或a=,b=,λ=.∴可以找到这样的定点R,使得为定值.如点R的坐标为(2,1)时,比值为;点R的坐标为(,)时,比值为.