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山西大学附属中学2019届高三9月模块诊断数学试题考试时间：分钟满分：150分考察范围：函数·导数·三角函数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．【详解】∵A={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2或x＜﹣2}B={x|}={x|x＜﹣2}∴A∩B={x|x＜﹣2}故选：B．【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．2.下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数．函数f（x）=ex在（﹣∞，+∞）上为增函数．故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性.3.函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．【详解】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A．【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．4.函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据题目条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2-2x左右两式表示的函数图象即得．【详解】∵对于函数f（x）=lnx-x2+2x的零点个数∴转化为方程lnx=x2-2x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点个数为3故选：D．【点睛】本题考查函数的零点个数的藕断．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．5.设曲线在点处的切线与直线垂直，则＝（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，在点处的切线斜率，直线的斜率，与直线垂直的斜率，所以，解得．考点：导数的几何意义．6.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解题时注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【详解】：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sinA＜1∴可判读它是sinA＞的必要而不充分条件故选：B．【点睛】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7.已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】①取a=-1，b=-2，即可判断出；②考察指数函数y=2x在R上单调性，即可判断出；③取a=1，b=-2，即可判断出；④考察幂函数在R上单调递增，即可判断出；⑤考察指数函数在R上单调性，即可判断出．【详解】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b，∴，正确，故选：C．【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．8.，则（）A.1-aB.C.a-1D.-a【答案】A【解析】本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.又，所以.故选A9.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）A.lg5·lg7B.lg35C.35D.【答案】D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0,选D.10.已知函数f(x)=log2(x+1)且abc0,则,,的大小关系是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，对照图象可得答案．【详解】由题意可得，,,分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，结合图象可知当a＞b＞c＞0时，．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数的图象，数形结合判断函数单调性的方法，利用单调性比较大小，转化化归的思想方法．11.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（）【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），即，即，则在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最大值1；故选B．考点：1.基本不等式；2.函数的图象与性质．12.已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数，的单调递减区间为__________．【答案】【解析】试题分析：∵，∴，令，则，∵正弦函数在上单调递增，∴由得：．∴函数在的单调递增区间为．考点：正弦函数的单调性．14.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；故答案为：（﹣∞，﹣5]；考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．15.定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可．【详解】∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵,∴30.3•f（30.3）（logπ3）•f（logπ3）即30.3•f（30.3）（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故答案为：c＞a＞b.【点睛】本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表.的导函数的图象如图所示.x－10451221下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在上是减函数；③如果当时的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的序号是_______.【答案】②【解析】【分析】①由导数图象可得当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f'（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2，4＜x＜5时，f'（x）＜0，此时函数单调递减，根据函数的单调性和极值，最值之间的关系进行判断．【详解】函数是周期函数不正确，从题干中得不出此结论；②函数在上是减函数，因为导函数在此区间上是小于0的，故正确；③如果当时的最大值是2，那么的最大值为5，故不正确；④因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）的值不确定，因为f（﹣1）=f（5）=1，根据函数的变化趋势，函数y=f（x）﹣a有4个零点a的范围不确定，因为函数的最低点不确定．故答案为：②【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的推理能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（1）已知,求值;（2）若，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．（2）由已知条件推导出，求出由此能求出的值．【详解】（1）∵，（2）而，由此可得【点睛】本题考查齐次式的求法，考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．18.在中，角的对边分别为且.(1)求;(2)若，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)利用正弦定理得到，然后化简得到，从而求出，再由同角三角函数的基本关系式可求出；(2)由余弦定理得，结合，求出的值，利用三角形的面积计算公式得到三角形的面积.试题解析：(1)在中，由正弦定理可得又因为，所以即∴又，所以∴，又因为∴，又因为(2)由余弦定理得，将代入得又，故∴.考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角三角函数的基本关系式；4.三角形的面积计算公式.19.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析