山西省山西大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期2月模块诊断试题（含解析）

山西省山西大学附属中学2018-2019学年高一数学下学期2月模块诊断试题（含解析）考试时间：90分钟满分：100分一．选择题（每小题3分，共36分）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.2.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与．A.①②B.①③C.③④D.①④【答案】C【解析】【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.【详解】①中的定义域为，的定义域也是，但与对应关系不一致，所以①不是同一函数；②中与定义域都是R，但与对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中与定义域都是，且，对应关系一致，所以③是同一函数；④中与定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.3.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.4.已知，则的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5.一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的等可能结果有16种，而4位同学选择在同一道题作答的等可能结果有2种，从而4位同学选择同一道题作答的概率为，故第22题和第23题都有同学选答的概率为.故选C.6.已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性可得等价于，由单调性可得，由此能求得的范围.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调增，则等价于，可得，，求得，故的取值范围为,故选A.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.7.设函数,（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】.故选C.8.若函数是指数函数，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：形如的函数为指数函数，所以函数是指数函数须有解得：，所以，所以，所以答案为B.考点：1.指数函数的定义；2.指数运算.9.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】函数f（x）=ln（|x|﹣1）是偶函数，所以选项C，D不正确；当x＞1时，函数f（x）=ln（x﹣1）是增函数，所以B不正确；A正确；故选：A．10.关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】分情况讨论，当时，求出满足条件的的值；当时，求出满足条件的的取值范围，即可得出结果.【详解】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上，的取值范围为：.故选D【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.11.已知函数f（x）=|lgx|.若0ab,且f（a）=f（b）,则a+2b的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：，所以，所以由得，即，所以，，令，因为函数在区间上是减函数，故，故选C。考点：对数函数性质，函数单调性与最值。12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由=0得|f（x）|=－k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=－k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有－k≥2，即k≤－2，故选D。考点：函数零点，分段函数的概念，一次函数、对数函数的图象和性质。点评：中档题，首先将函数零点问题，转化成研究函数图象的交点问题，利用数形结合思想，结合函数图象，得到k的范围。二、填空题（每小题4分，共16分）13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，那么抽取的第41个号码为________．【答案】0815【解析】【分析】因为系统抽样是将总体按样本容量分成段，再间隔取一个，所以只需求出的值，即可计算抽取的第41个号码.【详解】因为总体的个数为1000，样本容量为50，所以分组间隔，因为第一部分随机抽取一个号码为0015，所以抽取的第41个号码为.故答案为0815【点睛】本题主要考查系统抽样，只需先确定分组间隔，即可求解，属于基础题型.14.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．【答案】-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.设函数定义域为，对给定正数，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为___．【答案】【解析】【分析】根据“孪生函数”的定义，以及题中条件，可得到的解析式，进而可求出其值域.【详解】因为，当时，由可得，解得；由得，解得；当时，由可得，解得；由得，解得，综上，时，或；时，或；所以，当时，；当时，；当时，；综上.故答案为【点睛】本题主要考查求分段函数的值域，结合题中新的定义，求出函数解析式即可求解，属于常考题型.16.设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝______________．【答案】【解析】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1，它们都过定点P（0，-1）．考查函数y1=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2-ax-1，显然过点M（，0），代入得：()2−−1＝0，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：三．解答题（每小题12分，共48分）17.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：5【答案】（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为；（3）10【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两端的小长方形面积之和均为0.5；（3）根据题意分别求出，，，的人数，即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得：,（2）平均分为众数为65分.中位数为（3）数学成绩在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为，所以数学成绩在之外的人数为100-5-20-40-25=10.【点睛】本题主要考查样本估计总体，由题中频率分布直方图，结合平均数、中位数等概念，即可求解，属于基础题型.18.已知函数（1）判断函数的奇偶性和单调性；（2）当时，有，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，再由与的关系，即可判断出奇偶性；再由指数函数的单调性即可判断出函数的单调性；（2）由（1）中函数的奇偶性可得，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】(1)函数的定义域为,所以为奇函数，当时，单调递减，所以单调递增;当时，单调递增，所以单调递增，综上所述函数增函数.(2)因为所以即,由(1)得为奇函数且是R上的增函数所以由得，即，解得综上得所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，判断函数的单调性只需借助基本初等函数的单调性即可，判断函数的奇偶性，需要结合定义处理，利用函数基本性质解不等式，也是常考内容，属于基础题型.19.已知关于x的一元二次函数，分别从集合和中随机取一个数和得到数对．（1）若，，求函数有零点的概率；（2）若，，求函数在区间上是增函数的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用列举法分别列举出“分别从集合和中随机取一个数和得到的数对”和使“函数有零点的数对”所包含的基本事件，再根据古典概型的计算公式即可得出结果；（2）先根据求出所有的基本事件构成的平面区域的面积；再求出函数在区间上是增函数所对应的平面区域的面积，由几何概型的计算公式即可得出结果.【详解】（1）由已知得，，则分别从集合和中随机取一个数和得到数对的所有可能的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有18对．要使有零点，则需满足，可得满足条件的有序数对有，，，，，，共有6对．由古典概型概率公式可得所求概率为．故函数有零点的概率为．（2）由题意得所有的基本事件构成的平面区域为．要使单调递增，则需满足，即．设“函数在区间上是增函数”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为．由几何概型概率公式可得．故函数在区间上是增函数的概率为．【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，熟记公式即可求解，属于常考题型.20.已知函数的图象过点．（1）求的值并求函数的值域；（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（）【解析】【分析】（1）由函数的图象过点，可直接求出，进而可得函数解析式，求出函数值域；（2）关于的方程有实根，等价于与有交点，进而可求出结果.【详解】（1）因为函数图象过点，所以，解得.则，因为，所以，所以函数的值域为（2）方程有实根，即有实根，构造函数，则，因为函数在R上单调递减，而在（0，1）上单调递增，所以复合函数是R上单调递减函数.所以在上最小值为，最大值为，即，所以当（）时，方程有实根.【点睛】本题主要考查由函数过定点求函数解析式的问题，以及函数零点的问题，只需将方程有实根转化为两函数有交点的问题来处理即可，属于常考题型.