山西省平遥中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题

平遥中学2018—2019学年度第二学期高一期末考试数学试题本试卷满分：150分考试时间:120分钟一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分)1.已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．02.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则河流的宽度BC等于A．240(31)mB．180(21)mC．120(31)mD．30(31)m3．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc，则CA．2B．3C．4D．64．等差数列na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前n项和nS=A．1nnB．1nnC．12nnD．12nn5.若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy≥≤≥则2zxy的最小值等于A．52B．2C．32D．26.若0ab，0cd，则一定有A．abcdB．abcdC．abdcD．abdc7.已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为A．158或5B．3116或5C．3116D．1588.已知定义在R上的函数()21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.5log3a，2log5bf，2cfm则,,abc的大小关系为A．abcB．acbC．cabD．cba9.若将函数2sin2yx的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为A．()26kxkZB．()26kxkZC．()212kxkZD．()212kxkZ10.已知5log2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,,abc的大小关系为A.acbB.abcC.bcaD.cab11.在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=A．31010B．1010C．1010-D．31010-12.设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当(0,1]x时，()(1)fxxx.若对任意(,]xm，都有8()9fx，则m的取值范围是A．9,4B．7,3C．5,2D．8,3二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.记Sn为等差数列{an}的前n项和，12103aaa≠，，则105SS___________.14.函数()cos(3)6fxx在[0,]的零点个数为________．15.如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是．16.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为.三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．(1)求{}na的通项公式；(2)求nS，并求nS的最小值．18.ABC的内角CBA，，所对的边分别为cba，，．（I）若cba，，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin；（II）若cba，，成等比数列，求Bcos的最小值．19．设2()sincoscos()4fxxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角,,ABC，的对边分别为,,abc，若()02Af，1a，求△ABC面积的最大值．20.已知函数()4tancoscos()33fxxxx.(Ⅰ)求()fx的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论()fx在区间[,44]上的单调性．21.已知等比数列1{}a的公比1q，且34528aaa，42a是3a，5a的等差中项．数列{}nb满足11b，数列1{()}nnnbba的前n项和为22nn．(1)求q的值；(2)求数列{}nb的通项公式．22．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中%(0100)xx的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100xfxxxx≤（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间()gx的表达式；讨论()gx的单调性，并说明其实际意义．平遥中学2018—2019学年度第二学期高一年级期末考试数学试题参考答案与评分标准1--5BCCAA6--10DCBBA11--12CB13.4143个15.216.3417.【解析】(1)设{}na的公差为d，由题意得13315ad．由17a得d=2．所以{}na的通项公式为29nan．(2)由(1)得228(4)16nSnnn．所以当4n时，nS取得最小值，最小值为−16．18．【解析】（1）cba，，成等差数列，2acb由正弦定理得sinsin2sinACBsinsin[()]sin()BACACsinsin2sinACAC（2）cba，，成等比数列，22bac由余弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac222acac（当且仅当ac时等号成立）2212acac（当且仅当ac等号成立）2211112222acac（当且仅当ac时等号成立）即1cos2B，所以Bcos的最小值为1219．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin222xfxxxx2sin21212sin21212sinx．由kxk22222(Zk)，可得kxk44(Zk)；由kxk223222(Zk)，得kxk434(Zk)；所以)(xf的单调递增区间是]4,4[kk（Zk）；单调递减区间是]43,4[kk（Zk）．（Ⅱ）1()sin022AfA，1sin2A，由题意A是锐角，所以3cos2A．由余弦定理：Abccbacos2222，可得22132bcbcbc32321bc，且当cb时成立．123sin24bcA．ABC面积最大值为432．20.【解析】(Ⅰ)()fx的定义域为{|,}2xxkkZ．()4tancoscos()33fxxxx4sincos()33xx134sin(cossin)322xxx22sincos23sin3xxxsin23(1cos2)3xxsin23cos2xx2sin(2)3x所以()fx的最小正周期22T．令2,3zx函数2sinyz的单调递增区间是2,2,.22kkkZ由222232kxk,得5,.1212kxkkZ设5,,,441212ABxkxkkZ，易知,124AB．所以,当,44x时,()fx在区间,124上单调递增,在区间412，上单调递减．21．【解析】(1)由42a是3a，5a的等差中项得35424aaa，所以34543428aaaa，解得48a．由3520aa得18()20qq，因为1q，所以2q．(2)设1()nnnncbba，数列{}nc前n项和为nS．由11,1,2nnnSncSSn≥，解得41ncn．由(1)可知12nna，所以111(41)()2nnnbbn，故211(45)()2nnnbbn，2n≥，11123221()()()()nnnnnbbbbbbbbbb23111(45)()(49)()73222nnnn．设221113711()(45)()222nnTn，2n≥，2311111137()11()(45)()22222nnTn所以22111111344()4()(45)()22222nnnTn，因此2114(43)()2nnTn，2n≥，又11b，所以2115(43)()2nnbn．22.【解析】(1)当030x≤时，()3040fx恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30100x时，若40()fx，即180029040xx，解得20x（舍）或45x；∴当45100x时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为n，则自驾人数为%nx，乘公交人数为(1%)nx．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100nxnxxngxxnxnxxxn≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050xxgxxx≤3，则当(0,30](30,32.5]x，即(0,32.5]x时，()gx单调递减；当(32.5,100)x时，()gx单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．