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临汾一中2018-2019学年度第一学期高二年级阶段性考试数学试题（理）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.若平面∥平面，，则直线与的位置关系是()A.平行或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A【解析】【分析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点∵，，∴直线，没有公共点∴直线，的位置关系是平行或异面，故选A.【点睛】本题考查面面、线线、线面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力以及空间想象力，属于基础题．2.已知过点和的直线与直线平行，则实数的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：两直线平行斜率相等，的斜率为-2，直线的斜率为，解方程得．考点：直线平行．3.正方形的边长为，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则可还原出原来的图形，得原图为一个底为1，高为的平行四边形，求出它的面积即可．【详解】如图所示，由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍长度为，其原来的图形是平行四边形，所以它的面积是，故选C.【点睛】本题考查了斜二测画法的规则与应用问题，解题时应还原出原来的图形，是基础题．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它画成对应的轴、轴，使（或），它确定的平面表示水平平面；（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于或轴的线段；（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．4.直线的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出直线的斜率，分析可得，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，直线变形为，其斜率，则有，由正切函数的性质可得倾斜角的范围为；故选B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的性质，属于基础题.5.已知且关于的方程有两相等实根，则向量与的夹角是()A.－B.－C.D.【答案】D【解析】【分析】根据关于的方程有两个相等的实根便可得到，而由,便可得到，从而便可得出与夹角的大小.【详解】方程有两个相等的实根，∴，∵，∴，∴，∴与的夹角为，故选D.【点睛】考查一元二次方程实根的情况和判别式取值的关系，以及向量数量积的计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．6.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径为，以及圆锥的高为2，然后求解体积即可.【详解】圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得，解得，与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，则该圆锥的体积为，故选A．【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.变量满足约束条件，求的取值范围()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，ω=的几何意义为动点（x，y）到点（﹣1，1）的斜率，利用数形结合即可得到结论．【详解】由不等式组作出可行域如图，ω=的几何意义为动点P（x，y）到点D（﹣1，1）的斜率，由图象可知当P位于点C（4，2）时，CD的斜率最大，此时ω===，由图象可知当P位于点A（1，-1）斜率最小.此时ω===-1，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及斜率公式ω=是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．9.把三个半径都是1的球放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与下边的三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为（）A.B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】先求四个球心连线是正三棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求．【详解】四个球心连线是正三棱锥．棱长均为2.∴ED=，OD=ED=，∴AO==∴第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即+2.故选：C．【点睛】本题主要考查了由4个相同球外切时的球心连线构成一个正四面体，顶点到底面的距离，同时考查了转化与划归的思想，以及计算能力，属于中档题．10.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，各顶点均在正方体的面上，且正四棱锥的底面与正方体的某一面平行，则该几何体体积不可能的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】正四棱锥的底面是正方形ABCD，过ABCD的平面与正方体的某一个平面平行的截面也是正方形，当ABCD在截面内转动时，会有无数个正方形，所以几何体有无数个．【详解】如图所示：显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是：[，1），所以该几何体的体积取值范围是：[，]．故选：A．【点睛】正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化，考查空间想象能力，本题主要考查学生能否迅速构出一些常见的几何模型，并不是以计算为主．11.如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是()A.三棱锥的正视图面积是定值B.异面直线，所成的角可为C.异面直线，所成的角为D.直线与平面所成的角可为【答案】D【解析】【分析】判断主视图的底与高是否发生变化来判断，利用几何法以及建立空间坐标系将线线角以及线面角的关系转化为向量的关系来判断，和．【详解】对于，三棱锥的主视图为三角形，底边为的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故正确；对于，分别以，，为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，，，，，∴，，∴，当时，方程有解，∴异面直线，所成的角可为，故B正确．对于，连结，，，则，∵，∴，又∵，于是平面，∵平面，∴，故C正确；对于，结合B中的坐标系，可得面的法向量为，，所以，令，方程无解，即直线与平面所成的角可为是错误的，故选D.【点睛】本题考查了棱锥的三视图，异面直线所成的角，线面角，使用向量法可快速计算空间角的问题，异面直线所的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补，主要通过异面直线角的范围来确定的，直线与平面所成的角满足，属于常规题.12.在正三角形中，过其中心作边的平行线，分别交，与，，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点,则二面角的平面角的大小是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接A1G，MG，由G为三角形ABC的中心可得B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，故而∠A1GM为二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，在Rt△A1GM中，根据A1G和GM的数量关系得出∠A1GM．【详解】连接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，∴∠A1GM为二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，又A1M⊥平面BB1C1C，∴cos∠A1GM==，∴∠A1GM=．故选：C．【点睛】本题考查了利用二面角的定义来求二面角的平面角是关键，在直角三角形中有数量关系的计算，求出二面角的平面角，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为_________．【答案】【解析】【分析】直线l：3x﹣2y-2=0中，令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【详解】∵直线l的方程为3x﹣2y-2=0，∴当x=0时，解得y=-1，∴直线l在y轴上的截距是-1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查直线方程的纵截距的求法，是基础题，令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．14.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】分析：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系,求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：如图，为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，，，，设异面直线与成角为，，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.15.如图所示，是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点与点重合；②与垂直；③与所成角度是；④与平行．其中正确命题的序号是_________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】①④【解析】【分析】把展开图，折叠为正方体如图，即可得到正确选项．【详解】把展开图，折叠为正方体如图，①正确②AE与BF成60③与所成角度是60④正确；故答案为：①④【点睛】本题是基础题，考查几何体的折叠与展开，注意折叠前后，字母随平面而动．16.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为______.【答案】1【解析】试题分析：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．，即，解得，所以正实数a的最小值为1。考点：不等式的综合应用；基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积。点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．三、解答题（本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求与直线平行且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程。【答案】直线方程为【解析】试题分析：设直线的方程为，分别令，求出直线在坐标轴上的截距，根据两坐标轴上截距之和为列方程求解即可得出的值，从而可得直线的方程.试题解析：设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0，令x＝0，得y轴上截距b＝－；令y＝0，得x轴上截距a＝－.所以－＋(－)＝.解得m＝－4.所以所求直线l的方程为3x＋4y－4＝0.18.已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足.（1）求；（2）求的面积.【答案】(1),，;(2).【解析】分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件A、B、C成等差数列及，，可运用正弦定理，可求出A、B、C；（2）由（1）已知角，先运用正弦定理求出所需的边，即可求出面积.详解：（1）∵，，成等差数列，∴，又∵，∴，由正弦定理，可知，∴，∵，∴，，综上，；（2），由,得，∴．点睛：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，考查了计算能力和转化思想.19.为数列的前项和，已知数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）先有可求出，故而可求出公差，根据等差数列的通项公式即可得结果；（2）结合（1）可得，利用列项相消即可得其前项和.【详解