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山西省2018~2019年度高一下学期3月联合考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。【详解】由题意得，，又，所以，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用诱导公式和特殊三角函数值求解即可.【详解】.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简中的应用，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A.第一象限角一定小于B.终边在轴正半轴的角是零角C.若（），则与终边相同D.钝角一定是第二象限角【答案】D【解析】【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案．【详解】A.第一象限角范围是,所以不一定小于90°.所以A错误.B.终边在轴正半轴的角.不一定是零角..所以B错误C.若则.则应与终边相同..所以C错误D.因为钝角的取值范围为，所以钝角一定是第二象限角..所以D正确.故答案为D.【点睛】本题考查了任意角的概念，象限角，是基础的概念题．4.若点在角的终边上，且，则（）A.25B.C.24D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，得到=，求解即可得到m的值.【详解】因为点在角的终边上，所以，则.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由，结合函数图象“左加右减”的平移法则，即可得解.【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，解题是注意三角函数名是否一致，平移变换是否是针对自变量“”而言，属于基础题.6.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，结合即可得解.【详解】因为单调递增，且，，所以的零点所在的区间是.【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.7.函数图象的一个对称中心为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令求出，且y=1.【详解】令.所以,当k=0时.y=1.故答案为B【点睛】本题是基础题，考查余弦型函数的对称中心．8.某人为了检测自己的解题速度，记录了次解题所花的时间（单位：分）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差，则（）A.分B.分C.分D.分【答案】C【解析】【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|，利用换元法来解出结果．【详解】因为这组数据的平均数为，方差为，所以，.设，，因为，所以，即.则.【点睛】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题9.已知函数，若的最小正周期为，且，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由辅助角公式可得，根据，可求出=1，又为奇函数，所以，结合的范围，即可求得结果。【详解】由辅助角公式可得，由周期公式，得，因为，所以=1，则。又因为，即为奇函数，所以，即又因为，则令，所以，所以，故选A【点睛】本题考查了三角函数的周期性，奇偶性，诱导公式及辅助角公式，综合性较强，属中档题。其中特别要注意根据，解得。10.定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为。【详解】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题。应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反。11.已知函数，若，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意设由函数奇偶性的定义可得g（x）为奇函数,又由此可得答案.【详解】设，则，即.因为，所以，因为，所以为奇数.故答案为C.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，关键是构造新函数g（x）=f（x）+c，并分析g（x）的奇偶性.12.已知函数满足，当时，；当时，.若函数在上有五个零点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在上有五个零点等价于方程在上有五个不同的实数根，即与的图像在上有五个交点，结合图像可得，当直线过点时，取得最小值，此时。【详解】有题意知，则的周期为。又在上有五个零点等价于方程在上有五个不同的实数根，即与的图像在上有五个交点。图像如下：由图像可得，当直线过点时，取得最小值，此时。故选A【点睛】本题考查了函数的周期性，三角函数的图像与性质，零点与方程的综合应用，体现了数形结合的思想，考查学生计算，分析，作图的能力，为考试常考题型，属中档题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数，则__________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式先求，再求即可.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.14.某扇形的弧长为6，圆心角的弧度数为3，则该扇形的周长为__________．【答案】10【解析】【分析】由弧长等于圆心角乘以半径可求得半径，进而可得周长.【详解】因为扇形的弧长为6，圆心角为3，所以该扇形的半径为，则该扇形的周长为.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，属于基础题.15.若，，且，，则__________．【答案】【解析】【分析】由，利用两角和的正弦公式展开，结合条件，根据同角关系求相应的三角函数值即可.【详解】因为，且，所以.因为，且，所以.因为，所以，即.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换“给值求值”问题，涉及两角和的正弦展开及同角三角函数的基本关系，属于中档题.16.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为__________.【答案】6【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以50为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由301≤≤600求得正整数n的个数，即为所求．【详解】从人中用系统抽样方法抽取人，则抽样距为，因为第一组号码为，所以第二组号码为，…依次类推，则第组号码为.因为，所以，所以，即做问卷的人数共有.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系“切换弦”直接求解即可；（2）由，得，平方即可得解.【详解】解：（1），.（2）因为，即，所以，整理得，即，即.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，涉及诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于基础题.18.某校高三年级共有学生名，为了解学生某次月考的情况，抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，绘制出如下尚未完成的频率分布表：分组频数频率（1）补充完整题中的频率分布表；（2）若成绩在为优秀，估计该校高三年级学生在这次月考中，成绩优秀的学生约为多少人.【答案】（1）见解析；（2）180【解析】【分析】（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据.（2）先求出成绩在的频率，高三年级共有学生名，故成绩优秀的学生人数约为.【详解】（1）由题意可得，抽取的学生人数为，成绩在的学生人数为，成绩在的频率为，成绩在的学生人数为，成绩在的频率为，学生人数为，成绩在的学生人数为.故频率分布表为：分组频数频率（2）由（1）可得，成绩在的频率为，故成绩优秀的学生人数约为.【点睛】本题主要考查频率分布表、用样本的频率分布估计总体分布等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．19.已知函数.（1）求图象的对称轴方程；（2）求的最小值及此时自变量的取值集合.【答案】（1）（2）的最小值为1，此时自变量的取值集合为【解析】【分析】（1）化简函数，令可得解；（2）当时，函数有最小值1，利用整体换元可得的取值集合.【详解】解：（1）（或）.令（或），解得.故图象的对称轴方程为.（2）由（1）可知，，则.此时，，即，解得.故的最小值为1，此时自变量的取值集合为.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式及三角函数的对称轴和最值得求解，用到了整体换元的思想，属于基础题.20.已知，函数.（1）求的单调递增区间；（2）若在上的最大值为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式的逆运算把f（x）化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间,求出x的范围即为函数的增区间.(2)根据x的范围求出的范围，正弦函数的图象可得f（x）的最大值，让最大值等于2列出关于a的方程，求出a的值即可．【详解】（1）.令，解得.故的单调递增区间为.（2）因为，所以，从而.因为，所以.因为在上的最大值为，所以，即.【点睛】考查学生会根据三角函数值域借助图象求函数的最值，掌握正弦函数的单调性．21.函数的图象与轴的交点为，且当时，的最小值为.（1）求和的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据图象过点，可得，当时，的最小值为，可得周期为，可得；（2）根据条件可得，利用整体换元可得，进而得解.【详解】解：（1）因为的图象与轴的交点为，所以，即，因为，所以.因为当时，的最小值为，所以的最小正周期为，因为，所以.（2）由（1）可知，.因为，即，所以，解得.故不等式的解集为.【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应余弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．22.已知函数.（1）若的值域为，求关于的方程的解；（2）当时，函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）由的值域为，所以，进而可得，再求解二次方程即可；（2）由题意得在上有一个实数根，在上有两个不等实数根，列不等式组求解即可.【详解】解：（1）因为的值域为，所以.因为，所以，则.因为，所以，即，解得或.（2）在上有三个零点等价于方程在上有三个不同的根.因为，所以或.因为，所以.结合在上的图象可知，要使方程在上有三个不同的根，则在上有一个实数根，在上有两个不等实数根，即，解得.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数与方程的求解，考查了二次函数的图像和性质，属于中档题.