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2018～2019学年度第二学期期中考试高一数学试题第I卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，且，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限。2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数诱导公式，直接计算出结果.【详解】依题意.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，属于基础题.3.已知向量，满足，，则（）A.3B.2C.0D.-1【答案】D【解析】【分析】利用向量运算的分配律和数量积，计算出表达式的结果.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查向量运算的乘法分配律，考查数量积的运算，属于基础题.4.已知与均为单位向量，若，则向量与的夹角大小是（）A.60°B.45°C.30°D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】对两边平方，化简后利用向量数量积的公式求得两个向量的夹角.【详解】对两边平方得，即，，故选A.【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量的数量积运算和夹角的求法，属于基础题.5.下列函数中最小正周期为且图象关于直线对称的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的周期和对称轴对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于函数的最小正周期为，，由此排除D选项.将代入A选项，，故是函数的对称轴，符合题意.将代入B选项，，故不是函数的对称轴，排除B选项.将代入C选项，，故不是函数的对称轴，排除C选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查三角函数周期性的知识，考查三角函数对称轴的特点，属于基础题.6.分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是（）①若，则；②若，则；③若，则：④若，则.A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量相等及共线的定义对四个命题逐一分析判断，由此得出正确命题个数.【详解】对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即两个向量不一定相等，故①错误.对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误.对于③，两个向量模相等，不一定共线，也可能垂直或者其它的情况，故③错误.对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确.综上所述，共有个命题为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解，属于基础题.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.8.已知向量.，，若与互相垂直，则实数（）A.-2B.2C.-1D.1【答案】B【解析】【分析】先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于与互相垂直，故，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.9.设函数，其中、、、均为非零的常数，若，则的值是（）A.5B.3C.1D.不确定【答案】A【解析】【分析】化简的表达式，将所得结果代入的表达式中，由此求得的值.【详解】由于，故，所以..【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（）A.16平方米B.18平方米C.20平方米D.22平方米【答案】C【解析】【分析】根据弧田面积公式，代入数据，计算出弧田面积.【详解】由于圆心角为，故圆心到弦的距离为，弦长为，所以弧田面积为平方米.故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查弧田面积计算，属于基础题.11.已知函数，则函数（）A.的最小正周期为，最大值为5B.的最小正周期为，最大值为6C.的最小正周期为，最大值为5D.的最小正周期为，最大值为6【答案】B【解析】【分析】利用降次公式化简，由此求出函数的最小正周期和最大值.【详解】依题意，故最小正周期为，最大值为，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题.12.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行.点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为，则，可得，由图知当在点时有，，此时有最大值，同理在与相对的下顶点时有，此时有最小值．故本题答案选．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若角的终边经过点，且，则实数________.【答案】.【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用列方程，解方程求得的值.【详解】根据三角函数的定义，有，解得.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.14.________.【答案】.【解析】【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值.【详解】由于，故.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.函数（，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则________.【答案】.【解析】【分析】先根据图像求得的解析式，然后求得的值.【详解】由图像可知，，故，有图像可知，，故.即.所以.【点睛】本小题考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数求值，属于基础题.16.在中，点在上，且，，则实数k的取值范围是________.【答案】【解析】不妨设，，，∵，从而，即，从而，，，又，从而，即，故答案为.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】(1).(2).【解析】分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简原式即得的值.(Ⅱ）先把原式化成的形式再计算.详解：（Ⅰ）（Ⅱ）原式===点睛：（1）本题主要考查诱导公式和同角的关系，意在考查学生对这些基础知识的转掌握能力和转化能力.(2)求的值时，先变成，这里利用了1=，接着把分式的分母分子同时除以，分式中变得只有tanx，提高了解题效率.18.已知向量，.（I）当实数为何值时，向量与共线？（Ⅱ）若向量，，且，，三点共线，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．【详解】（1）kk（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．2（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k与2共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得，又与不共线，∴，解得．【点睛】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．19.已知向量，（），记函数为向量在向量上的投影，且是函数的图象距离轴最近的一条对称轴.（I）求函数的表达式：（II）若，，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】（I）根据向量投影的计算公式，求得的表达式，并利用辅助角公式合二为一，根据三角函数对称轴的概念，求得的值，由此求得三角函数的解析式.（II）根据的值和的取值范围没去的的值.代入的表达式，由此计算出的值.【详解】（I）由题意，得，由于“是函数的图象距离轴最近的一条对称轴”，所以，得.所以.（Ⅱ）因为，，所以由（I），得【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，考查三角函数对称轴，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.20.已知函数.（I）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)函数的最大值是1，最小值是.【解析】【分析】（I）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，化简的解析式，然后利用正弦型函数的单调增区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的最大值和最小值.【详解】（I）易得令，，所以，.故所求函数的单调递增区间为，.（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，即.故当时，函数的最大值是1，最小值是.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间和值域的计算，属于中档题.21.已知函数，（，，）在一个周期内的图象如图所示.（I）求函数的解析式；（Ⅱ）设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围以及这两个根的和.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】（I）根据三角函数的图像的最高点，求得的值，根据三角函数的周期，求得的值，根据函数图像上的特殊点，求得的值，由此求得函数的解析式.（II）画出函数的图像与函数的图像，根据图像求得的的取值范围.根据对称性求得两根的和.【详解】（I）由题设图象，易得，，所以，所以.所以.因为函数的图象经过点，所以，即.又因为，所以，所以，所以.故所求函数的解析式为.（Ⅱ）由题意，知方程有两个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有两个不同的交点.因为，易画出函数的图象与函数的图象（如图所示）.依据图象可知：当或时，直线与曲线有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数根，故所求实数的取值范围为.①当时，与的图象有两交点且关于直线对称，设此时方程两个不同的实数根分别为，，所以当，即②当时，与的图象有两交点且关于直线对称，设此时方程两个不同的实数根分别为，，所以，即综上，当时，所求方程的两根之和为当时，所求方程的两根之和为.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像求三角函数解析式，考查零点问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已的向量，，且.（I）求·表达式以及的取值范围；（Ⅱ）记函数，若的最小值为，求实数的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）根据向量数量积的坐标运算以及模的运算，求得·的表达式，求得平方后的表达式，由此求其取值范围.（II）利用（I）的结论，求得的表达式，令进行换元，然后对进行分类讨论，利用二次函数的最值，求得实数的值.【详解】（I）易得.因为又，所以，所以，.（Ⅱ）依题意，得.令，由（I）知，，则有.①当，即时，有，解得，此与矛盾：②当，即时，有.解得（舍）：③当，即，有，此与题设不符.综上所述，所求实数.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的运算，考查含有参数的三角函数最值问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.