山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题考试范围：数列、不等式；圆锥曲线；部分空间向量；考试时间：120分钟第I卷（选择题52分)一、单选题(共10小题,每小题4分,共40分)1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则＞B．若a＜b，则am2＜bm2C．若＜，则a＞bD．若a3＞b3，则a＞b2．等差数列na中，3485,22aaa，则9a的值为()A．14B．17C．19D．213．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝x4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（）A．﹣1B．1C．±1D．26．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．16D．327．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（）A．8B．C．16D．8．设数列na的通项公式为27nan，则1215aaa（）A．153B．210C．135D．1209．已知m+n＝4，其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）A．9B．4C．D．10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）A．108里B．96里C．64里D．48里二、多选题(共3小题,每小题4分,共12分)11．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则12．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.与均为的最大值13．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2B．e1•e2＝C．e＝D．e＝1第II卷（非选择题98分)三、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)14．函数y＝x+（x3）的最大值为．15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝．16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝，＝．17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为．四、解答题(共6小题,共82分)18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．19．（14分）已知等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．20．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）求直线MN与直线CB1所成角的大小．21．（14分）已知数列{an}为等差数列，a3＝5，S4＝16．（1）求数列{an}的公差d和通项公式an；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．22．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n+1﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn＝（2n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn．23．（14分）已知椭圆的离心率为，椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，m）作圆x2+y2＝1的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则＞B．若a＜b，则am2＜bm2C．若＜，则a＞bD．若a3＞b3，则a＞b【解答】解：A．a＞b得不出，比如，a＝4，b＝﹣2时；B．m＝0时，a＜b得不出am2＜bm2；C.得不出a＞b，比如，a＝﹣2，b＝4；D．∵y＝x3是增函数，∴a3＞b3得出a＞b．故选：D．2．等差数列{an}中，a3＝5，a4+a8＝22，则a9的值为（）A．14B．17C．19D．21【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8＝22，得2a6＝22，又a3＝5，由等差数列的性质可得：a9＝2a6﹣a3＝22﹣5＝17．故选：B．3．双曲线方程为＝1，则渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝x【解答】解：∵双曲线方程为，则渐近线方程为，即，故选：A．4．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝32，则a2＝（）A．﹣1B．1C．±1D．2【解答】解：等比数列{an}中，a2a3a4＝8，则a33＝8，则a3＝2，∵a7＝32，∴q4＝＝16，解得q＝±2，∴a2＝±1，故选：C．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵＝＝1﹣＝，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．故选：C．7．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝（）A．8B．C．16D．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∴F且倾斜角为60°的直线y＝（x﹣1），∴，整理得3x2﹣10x+3＝0，由韦达定理可知x1+x2＝，由抛物线的定义可知：|AB|＝p+x1+x2＝2+，故选：D．8．设数列的通项公式为an＝2n﹣7，则|a1|+|a2|+…+|a15|＝（）A．153B．210C．135D．120【解答】解：令an＝2n﹣7≥0，解得．∴从第4项开始大于0，∴|a1|+|a2|+…+|a15|＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a15＝5+3+1+1+3+…+（2×15﹣7）＝9+＝153．故选：A．9．已知m+n＝4其中m＞0，n＞0，则+的最小值是（）A．9B．4C．D．【解答】解：∵函数y＝loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣1，﹣1），∴将点（﹣1，﹣1）代入mx+ny+4＝0，得m+n＝4，∵m＞0，n＞0，则+＝（m+n）（）＝＝当且仅当且m+n＝4即n＝时取得最小值．故选：D．10．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为（）A．108里B．96里C．64里D．48里【解答】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为{an}，则数列{an}是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即S6＝189，则有S6＝＝189，解可得：a1＝96，故选：B．11．（4分）若a，b，c∈R，则下列命题中为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ab＞0，则≥2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则【解答】解：对于选项A，当c＝0时，若a＞b，则ac2＝bc2，故A错误，对于选项B，因为ab＞0，所以，，所以≥2＝2，当且仅当，即a2＝b2时取等号，故B正确，对于选项C，因为a＞|b|，由不等式的性质可得：a2＞b2，显然选项C正确，对于选项D，取a＝1，b＝﹣1时，显然选项D错误，综上可知：选项BC正确，故选：BC．12．ABD【解析】，则，，则，则，，．，∴，由知是中的最大值．从而ABD均正确．故选ABD．13．（4分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0．双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝，则正确的是（）A．＝2B．e1•e2＝C．e＝D．e＝1【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：﹣＝1（a1，b1＞0），半焦距为c．∵椭圆C1的上顶点为M，且＝0．∴∠F1MF2＝，∴b＝c，∴a2＝2c2．∴e1＝＝．不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．∴m+n＝2a，m﹣n＝2a1．∴mn＝＝a2﹣．在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos＝（m+n）2﹣3mn＝4a2﹣3（a2﹣）．∴4c2＝a2+3．两边同除以c2，得4＝+，解得：e2＝．∴e1•e2＝•＝．故选：BD．三、填空题：14．故答案为：1．15．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝．【解答】解：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴＝＝＝，∵＝，∴＝+++2+2+2＝6，∴||＝．故答案为：．16．已知A（2，）是椭圆＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝8，＝．【解答】解：A（2，）是椭圆＝1上一点，代入可得：＝1，解得m＝8．∴c＝＝2．∴F（2，0）．∴|AF|＝＝．点F到直线x＝4的距离为d＝2，＝．故答案为：8，．17．已知双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，则双曲线的标准方程为．【解答】解：当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，∴，∴∴双曲线的标准方程为；当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，并且焦距为20，∴，∴∴双曲线的标准方程为综上知，双曲线的标准方程为故答案为：四、解答题(共6小题,共82分)18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）以（0，12）和（0，﹣12）为焦点，且椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26；（2）以椭圆7x2+3y2＝21的焦点为焦点，且经过M（2，）．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设其方程为，∵2a＝26，∴a＝13，又c＝12，则b2＝a2﹣c2＝25．∴所求椭圆方程为；（2）由7x2+3y2＝21，得．可得c2＝a2﹣b2＝4，即c＝2．∴所求椭圆焦点为（0，﹣2），（0，2），设椭圆方程为，由M（2，）在椭圆上，则2a＝＝．∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝8．∴所求椭圆方程为．19．已知等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝+2n﹣1，求b1+b2+…+b10．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的各项为正数，其公差为1，a2•a4＝5a3﹣1．∴（a1+1）（a1+3）＝5（a1+2）﹣1，解得a1＝3，或a1＝﹣2（舍），∴数列{an}的通项公式an＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）＝n+2．（2）∵bn＝+2n﹣1＝2n+2n﹣1，∴b1+b2+…+b10＝（2+2