山东省淄博实验中学2020届高三数学上学期第一次学习检测试题

山东省淄博实验中学2020届高三数学上学期第一次学习检测试题第I卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合|3AxNx，2|0Bxxx，则AB（）A．0,1B．1C．0,1D．0,12．已知命题:pxR，1sinxex.则命题p为（）A．xR，1sinxexB．xR，1sinxexC．0xR，001sinxexD．0xR，001sinxex3．设a，bR，则“ab”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知ab，则下列成立的是（）A．abB．22abC．22abccD．22acbc5．已知0,0,2abab，则14yab的最小值是（）山东中学联盟A．92B．72C．5D．46．已知0,0,,abab的等比中项为2，则11abba的最小值为（）A．3B．4C．5D．427．已知等差数列{}na中，111a，前7项的和735S，则前n项和nS中()A．前6项和最大B．前7项和最大C．前6项和最小D．前7项和最小8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．52B．54C．53D．569．若双曲线22221xyab的一条渐近线与直线2yx垂直，则该双曲线的离心率为（）A．52B．5C．62D．210．点F为椭圆22221(0)xyabab的一个焦点，若椭圆上存在点A使AOF（O为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．312B．31C．212D．2111．已知0m，0xy，当2xy时，不等式24mxy恒成立，则m的取值范围是A．2,B．2,C．0,2D．0,212．已知12FF，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PFPF，线段1PF的垂直平分线过2F，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则21e2e2的最小值为（）A．6B．3C．6D．3第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题5分，共20分）．13．在62(3)xx的展开式中，2x的系数为__________．（用数字作答）14．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答）15．设2018220180122018(1)axxaxaaxa，若12320182320182018aaaaa0a，则实数a________.16．已知函数yfx在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为fx，当0x时，有不等式22xfxxfx成立，若对xR，不等式2220xxefeaxfax恒成立，则正整数a的最大值为_______.山东中学联盟三．解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分10分）等差数列na中，公差0d，514a，23111aaa.（1）求na的通项公式；（2）若11nnnbaa，求数列nb的前n项和nS.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，APB是以P为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD．(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；(2)M为直线PC的中点，且2APAD，求二面角AMDB的余弦值.19．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为42．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M为椭圆C的右顶点，过点(6,0)N且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为1k，2k，求证:12kk为定值．20．（本小题满分12分）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用33模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的22列联表.请求出a和b，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生a10女生25b总计（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式：22nadbcKabcdacbd2PKk0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）已知函数21()ln1()2fxxaxaR.（Ⅰ）若函数()fx在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若20a，对任意12,1,2xx，不等式121211()()fxfxmxx恒成立，求实数m的取值范围.22．（本小题满分12分）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]件数43301584对近60天，每天揽件数量统计如下表：件数范围0~100101~200201~300301~400401~500件数50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，将频率视为概率.（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？高三级部第一学期学习效果检测参考答案1．D2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．C9．A10．B11．B12．C13．486014．7215．216．217．解：（1）因为514a，23111aaa，所以12111414,210,adadaad因为0d，所以12,3,ad故na的通项公式为1131naandn.（2）因为111111313233132nnnbaannnn，所以1111111111325583132323264nnSnnnn.18．（Ⅰ）证明：ABCD为矩形，ADAB，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AD平面PAB，则ADPB，又PAPB，PAADA，PB平面PAD，而PB平面PBC，平面PAD平面PBC；（Ⅱ）取AB中点O，分别以,OPOB所在直线为,xy轴建立空间直角坐标系，由2APAD，APB是以P为直角的等腰直角三角形，得：220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,122ADBM，23223222,,1,,,1,,,1222222MAMDMB．设平面MAD的一个法向量为,,mxyz，由232022232022mMAxyzmMDxyz，取1y，得3,1,0m；设平面MBD的一个法向量为,,nxyz，由23202222022nMDxyznMBxyz，取x1，得1,-1,-2n.1cos50,mnmnmn．∴二面角AMDB的余弦值为105．19．（1）由题意有22222224222ceaaabbabcc，∴椭圆C的标准方程为22142xy．（2）由（1）可知(2,0)M，依题意得直线l的斜率存在，设其方程为(6)(0)ykxk，设11,Pxy，22,Qxy，1222xx,，联立方程22142(6)xyykx，整理可得2222(12)247240kxkxk，21222412kxxk,212272412kxxk，2212121212121212121212(6)(6)[6()36].222()42()4yykxxkxxxxkkxxxxxxxxxx=222222222222222222724144[36][72414436(12)]321212172448724484(12)32+41212kkkkkkkkkkkkkkkkkk为定值.20．（1）由题意，男生人数为550100551000，女生人数为450100451000，所以22列联表为：选择“物理”选择“历史”总计男生451055女生252045总计703010045a，20b.假设0H：选择科目与性别无关，所以2K的观测值2100452025108.1296.63570305545k，查表可得：20.01PKk，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关.（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X可为0，1，2，3，4.设事件X发生概率为PX，则454950126CPXC，315449401126CCPXC，225449602126CCPXC，135449203126CCPXC，444914126CPXC.所以X的分布列为：X01234P51262063102110631126所以X的数学期望54060012126126126EX20116341261269.21．（Ⅰ）易知()fx不是常值函数，∵21()ln12fxxax在1,2上是增函数，∴'()0afxxx恒成立，所以2ax，只需2min()1ax；（Ⅱ）因为20a，由（Ⅰ）知，函数()fx在[1,2]上单调递增，不妨设1212xx，则121211fxfxmxx，可化为2121())mmfxfxxx（，设21()()ln12mmh