双曲线专题复习讲义全面版

双曲线专题复习讲义★知识梳理★1.双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PFPFaFF时,P的轨迹为双曲线;当1212||||||2||PFPFaFF时,P的轨迹不存在;当21212||FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1e)的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222babyax)0,(12222babxay性质焦点)0,(),0,(cc，),0(),,0(cc焦距c2范围Ryax,||Rxay,||顶点)0,(),0,(aa),0(),,0(aa对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率(1,)cea准线cax2cay2渐近线xabyxbay与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222byax与双曲线12222byax共轭的双曲线为22221yxba等轴双曲线222ayx的渐近线方程为xy，离心率为2e.；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)FF，一曲线上的动点P到21,FF距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||aFF，二要注意是一支还是两支ABCPOxy12||||610PFPF，P的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922xyx2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy23，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，23ab，213e；当焦点在y轴上时，23ba，313e★热点考点题型探析★考点1双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a=680,c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．36B．12C．312D．24解析：2:3||:||,13,12,121PFPFcba由①又,22||||21aPFPF②由①、②解得.4||,6||21PFPF,52||,52||||2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621||||212121PFPFSFPF故选B。2.如图2所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3,2,17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]FPFP61FPFP52643FPFP，选C3.P是双曲线)0,0(12222babyax左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则21FPF的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）a（B）b（C）c（D）cba［解析］设21FPF的内切圆的圆心的横坐标为0x，由圆的切线性质知，axacxxcPFPF000122|)(|||题型2求双曲线的标准方程[例2]已知双曲线C与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于cba,,的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为22ax－22by=1.由题意易求c=25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y=1.解法二：设双曲线方程为kx162－ky42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x－82y＝1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2xy，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为224yx，当0时，化为1422yx，2010452，当0时，化为1422yy，2010452，综上，双曲线方程为221205xy或120522xy5.以抛物线xy382的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03yx的双曲线方程为___________________.[解析]抛物线xy382的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为223yx，9)32(342，双曲线方程为13922yx6.已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A．221(1)8yxxB．221(1)8yxxC．1822yx（x0）D．221(1)10yxx[解析]2BNBMPNPM，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2双曲线的几何性质题型1求离心率或离心率的范围[例3]已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF，点P在双曲线的右支上，且12||4||PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为．【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决[解析](方法1)由定义知12||||2PFPFa，又已知12||4||PFPF，解得183PFa，223PFa，在12PFF中，由余弦定理，得2222218981732382494964coseaacaaPFF，要求e的最大值，即求21cosPFF的最小值，当1cos21PFF时，解得53e．即e的最大值为53．(方法2)acaPFaPFPFaPFPF21||21||||2||||22221，双曲线上存在一点P使12||4||PFPF，等价于35,421eaca(方法3)设),(yxP，由焦半径公式得aexPFaexPF21,，∵214PFPF，∴)(4)(aexaex，∴xae35，∵ax，∴35e，∴e的最大值为53．【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P在变化过程中，||||21PFPF的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为cba,,的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线221xymn的一条渐近线方程为43yx，则该双曲线的离心率e为．[解析]当0,0nm时，169nm，9252mnme，当0,0nm时，916nm，16252nnme，e53或548.已知双曲线)0,0(12222babyax的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（）A．215B．2C．215或2D．不存在[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则cabAD，caaED2，caa2cab3，2e题型2与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222babyax的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通cba,,的关系[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长，故ab2，5122222abace,所以5e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过cba,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程【新题导练】9.双曲线22149xy的渐近线方程是()A.23yxB.49yxC.32yxD.94yx[解析]选C10.焦点为（0，6），且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．1241222yxB．1241222xyC．1122422xyD．1122422yx[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B基础巩固训练1.以椭圆221169144xy的右焦点为圆心，且与双曲线221916xy的渐近线相切的圆的方程是（A）221090xyx（B）221090xyx（C）221090xyx（D）221090xyx[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A2.已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F、2(10,0)F，M是此双曲线上的一点，且满足120MFMF，12||||2MFMF，则该双曲线的方程是（）A．2219xyB．2219yxC．22137xyD．22173xy[解析]由12||||2MFMF和402221PFPF得6||21PFPF，选A3.两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba则双曲线12222byax的离心率为()A．53B．414C．54D．415[解析]414,5cba，选D4.设1e，2e分别为具有公共焦点1F与2F的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足021PFPF，则2212221)(eeee的值为(C)A．21B．1C．2D．不确定[解析]C.设aPFPF2||||21，mPFPF2||||21，maPF||1，maPF||2，2224)()(cmama21122221222eecma5.已知F1，F2分别是双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）(A).),21((B).)21,1((C).)3,1((D).)22,3([解析]210122122222eeeacaccab，选B6.曲线)6(161022mmymx与曲线)95(19522nnynx的（）A．焦距相等B．焦点相同C．离心率相等D．以上都不对[解析]方程)6(161022mmymx的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程)95(19522nnynx的曲线为焦点在y轴的双曲线，)5()9()6()10(nnmm，故选A综合提高训练7.已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，（1）求双曲线的