山东省烟台市2019-2020学年高一数学上学期期中试题

山东省烟台市2019-2020学年高一数学上学期期中试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。3.考试结束，由监考人员将试题卡一并收回。一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝60°，b＝，c＝，则角A为（）A．45°B．60°C．75°D．135°2．在△ABC中，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．23．已知{an}为等比数列，若a3＝2，a5＝8，则a7＝（）A．64B．32C．±64D．±324．如图，测量员在水平线上点B处测量得一塔AD塔顶仰角为30°，当他前进10m到达点C处测塔顶仰角为45°，则塔高为（）A．15mB．C．D．5．若向量，满足||＝2，||＝3，||＝，则•（+）＝（）A．5B．6C．7D．86．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的两个根，那么S11的值为（）A．44B．﹣44C．55D．﹣557．在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则•（）＝（）A．8B．12C．16D．208．已知数列{an}是等差数列，a1＜0，a8+a9＞0，a8•a9＜0．则使Sn＞0的n的最小值为（）A．8B．9C．15D．169．数列{an}是正项等比数列，满足anan+1＝4n，则数列{}的前n项和Tn＝（）A．B．C．D．10．在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，2）D．（1，2）11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（）A．B．6C．D．912．锐角三角形ABC中，若∠C＝2∠B，则的范围是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（1，2）D．（1，3）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．关于x的一元二次不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是．14．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝8，AC＝6，AD＝5，则BC＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则不等式ax2+bx+c＜0的解集是．16．如图，点D为△ABC的边BC上一点，，En（n∈N）为AC上一列点，且满足：＝（3an﹣3）+（﹣n2﹣n+1），其中实数列{an}满足a1＝2，则+++…+＝．三．解答题（共6小题，共70分）17（10分）．已知向量，不共线，向量＝﹣，＝+2，＝3﹣．（1）若（+2）∥（+k），求k的值；（2）若，为相互垂直的单位向量，且（t+）⊥，求t的值．18（12分）．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．19（12分）．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosA＝acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a＝3，△ABC的周长为8，求△ABC的面积．20（12分）．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a5+b2＝a3+b3＝7．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和．21（12分）．在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．22（12分）．已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝F（an），求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn＝，求证：＜2．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1C．2．C．3B．4C．5C．6D．7D．8D．9A．10A．11．C．12C二．填空题（共4小题）13．关于x的一元二次不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（﹣1，2）．14．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝8，AC＝6，AD＝5，则BC＝10．15．二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣2，3）．16．如图，点D为△ABC的边BC上一点，，En（n∈N）为AC上一列点，且满足：＝（3an﹣3）+（﹣n2﹣n+1），其中实数列{an}满足a1＝2，则+++…+＝．解：，即﹣＝2（﹣），∴，又＝（3an﹣3）+（﹣n2﹣n+1），即，可得，∴适合，则+++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．三．解答题（共6小题）17（10分）．解：（1）∵＝﹣，＝+2，＝3﹣，∴＝3，＝（1+3k）+（2﹣k），∵（+2）∥（+k），由向量共线定理可得，存在实数λ使得λ（+2）＝+k，则解可得，k＝；（2）∵＝﹣，＝+2，∴t+＝（t+1）+（2﹣t），∵（t+）⊥，∴（t+）•＝0，即+（t﹣2）＝0，∵，为相互垂直的单位向量，∴＝0，，∴2t﹣1＝0，∴t＝．18（12分）．解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数的关系，得，解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．19（12分）．解：（1）由正弦定理得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA2sinBcosA＝sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB．因为sinB≠0，所以cosA＝，又A为△ABC的内角•所以A＝60°．（2）因为a＝3及△ABC的周长为8，所以b+c＝5，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bcosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccos60°＝（b+c）2﹣3bc．所以3bc＝（b十c）2﹣a2＝25﹣9＝16，所以bc＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝．20．（12分）解：（1）数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q（q＞0），则由题意可得，1+4d+q＝1+2d+q2＝7，解得，q＝2，d＝1，则an＝n，bn＝2n﹣1；（2）设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1•1+2•2+3•4+…+n•2n﹣1，①2Sn＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，②②﹣①可得，Sn＝﹣1﹣2﹣4﹣8﹣…﹣2n﹣1+n•2n＝n•2n﹣＝（n﹣1）•2n﹣1．21（12分）．解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．22．（12分）证明：（1）∵，等式两边同时减去1，得＝，∴＝2+，∴﹣＝2，又＝＝1，∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．解：（2）由（1）知数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴an＝1+＝．（3）∵bn＝，∴欲证++…+＜2，即证+＜2，∵，（n≥2），∴+＜1+1﹣+﹣+…+＝2﹣＜2．