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山东省威海市2019届高三数学上学期期末考试（一模）试题文（含解析）一、选择题（本题共12个小题）1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）U（2，3）2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（）A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0D．∃x≤0，x2﹣x≤04．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．47．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48+12B．60+12C．72+12D．848．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）A．8年B．9年C．10年D．11年10．公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，满足aman＝32a12，则的最小值为（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣212．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝．14．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为．15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an}，则a100＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，若AB＝2，则BC＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0100.0050.001k6.6357.87910.82819．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥EG；（Ⅱ）若三棱锥VE﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．21．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．四、解答题（共2小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12个小题）1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（2，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）U（2，3）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（﹣1，1）∪（2，3）．故选：D．2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（）A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i【分析】等号两边同时除以1+2i，再进行化简，整理．解：＝2﹣i．故选：B．3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣x≤0B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0D．∃x≤0，x2﹣x≤0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是：∀x≤0，x2﹣x≤0．故选：B．4．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有则∠PTF＝即可．解：设P在准线l上的射影为M，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，∵若|PT|＝2|PF|，则sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有则∠PTF＝．故选：C．5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】本题关键是画出函数y＝sin2x的图象，然后与题干中图象进行比较，即可得到结果．解：由题意，函数y＝sin2x的图象如下：根据图，由y＝sin2x的图象向左平移﹣＝个单位即可得到题中图象，则反过来，题中图象向右平移﹣＝个单位即可得到y＝sin2x的图象．故选：D．6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解：变量x，y满足不等式组，目标函数z＝2x﹣y，画出图形：点A（1，1），B（0，2），z在点B处有最小值：z＝2×0﹣2＝﹣2，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48+12B．60+12C．72+12D．84【分析】首先把三视图准换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以，该几何体的表面积为：S＝2××（4+2）×2+2×6+2×6+4×6+2×6＝60+12．故选：B．8．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α∈（，π），所以（），又因为cos（﹣α）＝＞0，所以角（）是第四象限角，所以sin（）＝﹣，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．解：∵α∈（，π），∴（），又∵cos（﹣α）＝＞0，∴角（）是第四象限角，∴sin（）＝﹣，∴sinα＝sin[﹣（﹣α）]＝sincos（）﹣cossin（）＝，cosα＝cos[﹣（﹣α）]＝coscos（）+sinsin（）＝﹣，∴sinα﹣cosα＝，故选：C．9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）A．8年B．9年C．10年D．11年【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出后，代入y＝15可得答案．解：由表中数据可得：＝＝3.5，＝＝4.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故＝﹣1.23＝4.5﹣1.6×3.5＝﹣1.1；故＝1.6x﹣1.1；当y＝15时，x＝10.625该设备的使用年限为10年．故选：C．10．公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，满足aman＝32a12，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解m、n的方程，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．解：公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，满足aman＝32a12，可得：a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝32a12，可得m+n﹣2＝5，所以m+n＝7，则＝（）×（m+n）＝≥＝，当且仅当n＝2m，并且m+n＝7时，取等号，但是m，n∈N，所以m＝2，n＝4时，表达式的值为：＝，m＝3，n＝4时，表达式的值为：，m＝2，n＝5时，表达式的值为：．表达式的最小值：．故选：D．11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点判定定理即可求解．解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3．故选：A．12．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，则|OM|＝b，|OF1|＝c，又|MF1|＝a，|PF2|＝2b，即有4a＝2b，即可．解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，则|OM|＝b，|OF1|＝c，∴|MF1|＝a，∴OM为△PF1F2的中位线，则|PF2|＝2b即有4a＝2b即有e＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝﹣．【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2+3a1变形可得1+