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课时训练(二十六)圆的基本性质|夯实基础|1.[2019·凉山州]下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.[2019·宜昌]如图K26-1,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是()图K26-1A.50°B.55°C.60°D.65°3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分别是AB上的高和中线,如果圆A是以点A为圆心,半径长为2的圆,那么下列判断正确的是()A.点P,M均在圆A内B.点P,M均在圆A外C.点P在圆A内,点M在圆A外D.点P在圆A外,点M在圆A内4.[2018·威海]如图K26-2,☉O的半径为5,AB为弦,点C为𝐴𝐴⏜的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为()图K26-2A.12B.5C.5√32D.5√35.[2019·天水]如图K26-3,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连结AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为()图K26-3A.20°B.25°C.30°D.35°6.[2019·威海]如图K26-4,☉P与x轴交于点A(—5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C,若∠ACB=60°,则点C的纵坐标为()图K26-4A.√13+√3B.2√2+√3C.4√2D.2√2+27.[2018·杭州]如图K26-5,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA=.图K26-58.[2019·台州]如图K26-6,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为.图K26-69.[2018·绍兴]等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为.10.如图K26-7,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.图K26-711.[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图K26-8,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)图K26-812.[2019·绍兴]在屏幕上有如下内容:如图K26-9,△ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长,请你解答.(2)以下是小明,小聪的对话:小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长.小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连结OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母),并解答.图K26-9|拓展提升|13.[2019·乐山]如图K26-10,抛物线y=14x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连结OQ.则线段OQ的最大值是()图K26-10A.3B.√412C.72D.414.[2019·宁波]如图K26-11①,☉O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BF⊥EC交AE于点F.(1)求证:BD=BE;(2)当AF∶EF=3∶2,AC=6时,求AE的长;(3)设𝐴𝐴𝐴𝐴=x,tan∠DAE=y.①求y关于x的函数表达式;②如图②,连结OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.图K26-11【参考答案】1.A2.A3.C4.D[解析]如图,连结OA,OC,OC交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为∠ABC=30°,故∠AOC=60°,在Rt△AOM中,sin60°=𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴5=√32,故AM=5√32,即AB=5√3.故选D.5.C[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠D=80°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=50°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=80°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°.6.B[解析]连结PA,PB,PC,过点P分别作PF⊥AB,PE⊥OC,垂足为F,E.由题意可知:四边形PFOE为矩形,∴PE=OF,PF=OE.∵∠ACB=60°,∴∠APB=120°.∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA=30°.∵PF⊥AB,∴AF=BF=3,∴PE=OF=2.∵tan30°=𝐴𝐴𝐴𝐴,cos30°=𝐴𝐴𝐴𝐴,∴PF=√3,AP=2√3,∴OE=√3,PC=2√3.在Rt△PEC中,CE=√𝐴𝐴2-𝐴𝐴2=2√2,∴OC=CE+EO=2√2+√3.7.30°[解析]∵AB⊥DE,且C为OA中点,∴OC=AC=12DO,∴∠DOC=60°.∴∠DFA=30°.8.52°[解析]∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D=180°,∵∠B=64°,∴∠D=116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D=∠AEC=116°,又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°.9.30°或110°[解析]分两种情况:(1)如图,BP=BA=AC,AP=BC,∴四边形APBC为平行四边形,∴∠BAC=∠ABP=40°,∠ABC=∠ACB=70°,∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=40°+70°=110°.(2)如图,∵AP=BC,BP=AC,AB=AB,∴△BAP≌△ABC,∠PBA=∠BAC=40°,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=70°-40°=30°.10.解:(1)证明:如图①,连结AE.∵AC为☉O的直径,∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC.又∵AB=AC,∴BE=CE.(2)如图②,连结DE.∵四边形ACED为☉O的内接四边形,∴∠BED=∠BAC.又∵∠B=∠B,∴△BED∽△BAC,∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴.∵BE=CE=3,∴BC=6.又∵BD=2,∴3𝐴𝐴=26,∴BA=9,∴AC=9.11.解:连结CO并延长,交AB于点D,∴CD⊥AB,且D为AB中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°,∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=𝐴𝐴cos41.3°≈30.75=4,∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.12.解:(1)连结OC,如图.∵CD与☉O相切,∴∠OCD=90°,又∵∠D=30°,∴OD=2OC=2,∴AD=OA+OD=3.(2)一类:通过几何、代数方法的综合运用,解得所编制题目的答案.如:加条件CP是直径,连结PD,设BD=x,PD=y,求y关于x的关系式.解答略.二类:通过三角形全等,三角形相似,解得所编制题目的答案.如:加条件∠ABC=60°,连结OC,求证:△ACB≌△DCO.解答略.如:加条件∠ABC=60°,求BC的长.解答略.13.C[解析]连结BP,如图,当y=0时,14x2-4=0,解得x1=4,x2=-4,则A(-4,0),B(4,0),∵Q是线段PA的中点,∴OQ为△ABP的中位线,∴OQ=12BP,当BP最大时,OQ最大,而BP过圆心C时,PB最大,如图,点P运动到P'位置时,BP最大,∵BC=√32+42=5,∴BP'=5+2=7,∴线段OQ的最大值是72.14.[解析](1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED=∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)作AG⊥EC于点G,由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE的长;(3)①作EH⊥AD于点H,构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②作OM⊥EC于点M,构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,∵∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,∴∠DEB=∠D,∴BD=BE.(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC=6,∴BG=12BC=12AC=3.在Rt△ABG中,AG=√3BG=3√3.∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴.∵AF∶EF=3∶2,∴BE=23BG=2,∴EG=BE+BG=2+3=5,∴在Rt△AEG中,AE=√𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=2√13.(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt△BEH中,𝐴𝐴𝐴𝐴=sin60°=√32,∴EH=√32BE,BH=12BE.∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=x,∴BG=xBE,∴AB=BC=2BG=2xBE,∴AH=AB+BH=2xBE+12BE=2x+12BE.Rt△AHE中,tan∠EAD=𝐴𝐴𝐴𝐴=√32𝐴𝐴(2𝐴+12)𝐴𝐴=√34𝐴+1,∴y=√34𝐴+1.②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE=a,∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=x,∴CG=BG=xBE=ax,∴EC=CG+BG+BE=a+2ax,∴EM=12EC=12a+ax,∴BM=EM-BE=ax-12a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴+𝐴𝐴=11+𝐴.∵AG=√3BG=√3ax,∴BF=11+𝐴AG=√3𝐴𝐴1+𝐴,△OFB的面积=𝐴𝐴·𝐴𝐴2=12×√3𝐴𝐴𝐴+1ax-12a,△AEC的面积=𝐴𝐴·𝐴𝐴2=12×√3ax(a+2ax),∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍,∴10×12×√3𝐴𝐴𝐴+1ax-12a=12×√3ax(a+2ax),∴2x2-7x+6=0,解得x1=2,x2=32,∴y=√39或√37.