2020中考数学热点专练03 分式与分式方程（含解析）

热点03分式与分式方程【命题趋势】1．在中考中，分式的概念和运算常以选择题或填空题形式考查，考查分式的性质、分式有意义的条件、分式的加减、分式的乘除等．2．分式的化简求值也是中考中的热点，常出现在解答题中，并与不等式（组）、一元二次方程、锐角三角函数等结合考查．3．考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．4．分式方程的应用的解题中，关键步骤是根据题意找出“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义，常常与一元一次不等式的应用结合考查．【满分技巧】1．分式的概念及性质与分式有关的“五个条件”的字母表示：（1）分式AB无意义时，B=0；（2）分式AB有意义时，B≠0；（3）分式AB的值为零时，A=0且B≠0；（4）分式AB的值为正时，A，B同号，即00AB或00AB；（5）分式AB的值为负时，A，B异号，即00AB或00AB．2．分式的运算和化简分式化简求值题的一般步骤：（1）若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；（2）若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；（3）利用因式分解、约分进行分式乘法运算；（4）最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；（5）将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义（即使原分式分母不为0）．3．分式方程的概念及解分式方程找最简公分母的方法：（1）取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）利用字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）所得的系数的最小公倍数与各个字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母．4．分式方程的应用（1）常见关系：分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．如：工作时间=工作量工作效率，时间=路程速度．（2）列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1．（湖北省黄石市下陆区、西塞山区2019年中考数学模拟试卷）要使代数式3xx有意义，则x的取值范围是A．3xB．3xC．3xD．0x【答案】B【解析】∵要使代数式3xx有意义，∴x–3≥0，3x≠0，解得：x3．故选B．2．（2019年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷）目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米，居世界前列在5G时代赢得了一席地，已知1纳米=0.000000001米，用科学记数法将7纳米表示为A．0.7×10﹣8米B．7×10﹣9米C．0.7×10﹣10米D．7×10﹣10米【答案】B【解析】7纳米=0.000000007米=7×10﹣9米，故选B．3．（2019年天津市北辰区初中毕业生学业考试模拟数学试题）计算2222532xyxxyxy的结果是A．3xyB．3xyC．5xyD．5xy【答案】A【解析】原式22532xyxxy=3()()()xyxyxy=3xy，故选A．4．（河北省石家庄市2019届九年级毕业班教学质量检测数学试题）解分式方程21122xxx，去分母后得到的方程正确的是A．-212xxB．221xxC．221xxD．221xx【答案】D【解析】去分母得：2x=（x–2）+1，故选D．5．（2019年河北省秦皇岛市海港区中考数学模拟试卷）化简2211xax的结果是21x，则a的值是A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】A【解析】2212211=1+111xxaxxxx，∴a=1，故选A．6．（2019年广西梧州市中考数学二模试卷）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．211xx约分的结果是1xB．分式211x与11x的最简公分母是x﹣1C．22xx约分的结果是1D．化简221xx﹣211x的结果是1【答案】D【解析】A、211xx=11x，故本选项错误；B、分式211x与11x的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；C、22xx=2x，故本选项错误；D、221xx﹣211x=1，故本选项正确，故选D．7．（2019年湖南省怀化市洪江市（5月份）中考数学模拟试卷）分式方程3122xx的解为A．x=0B．x=1C．x=﹣1D．x=2【答案】B【解析】去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选B．8．（2019年河北省唐山市丰南区中考数学一模试卷）已知：32251025xxxx﹣M=55xx，则M=A．x2B．25xxC．2105xxxD．2105xxx【答案】B【解析】3225551025xxxxxx，=3222255251025(5)xxxxxxx=3225(5)xxx=22(5)(5)xxx=25xx，则M=25xx，故选B．9．（2019年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷）若关于x的方程3111axxx的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是A．6B．0C．1D．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax﹣1﹣x=3，解得：x=41a，由分式方程的解为整数解，得到a﹣1=±1，a﹣1=±2，a﹣1=±4，解得：a=2，0，3，﹣1，5，﹣3（舍去），则满足条件的所有整数a的和是9，故选D．10．（2019•黑龙江）已知关于x的分式方程23xmx=1的解是非正数，则m的取值范围是A．m≤3B．m3C．m–3D．m≥–3【答案】A【解析】23xmx=1，方程两边同乘以x–3，得2x–m=x–3，移项及合并同类项，得x=m–3，∵分式方程23xmx=1的解是非正数，x–3≠0，∴30(3)30mm„，解得m≤3，故选A．11．（河南省实验中学2019年中招模拟大联考数学试题）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？我们设乙图书每本价格为x元，则可得方程A．800800242.5xxB．800800242.5xxC．8002.580024xxD．800800242.5xx【答案】B【解析】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据题意可得：8008002.5xx=24，解得：x=20，经检验得：x=20是原方程的根，则2.5x=50．答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元．故选B．12．（河北省石家庄市六县（市、区）部分重点中学2019届中考数学模拟试题）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是A．20元B．18元C．15元D．10元【答案】A【解析】设文学类图书平均价格为x元/本，则科普类图书平均价格为1．2x元/本，依题意得：12000120001001.2xx，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．故选A．二、填空题13．（2019•吉林）计算：22yx·xy__________．【答案】12x【解析】22yx·12xyx，故答案为：12x．14．（浙江省乐清市2019届初中毕业升学考试适应性测试数学试题）若分式2135xx的值为0，则x的值为__________．【答案】12【解析】由题意可知：210350xx，解得：x=12，故答案为：12．15．（2019年山东省临沂市四校联考中考数学模拟试卷）计算（1+1x）÷221xxx的结果为__________．【答案】11x【解析】原式=21(1)xxxx=11x，故答案为：11x．16．（2019年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学零模试卷）已知x=3是方程211kxkxx=2的解，那么k的值为__________．【答案】2【解析】当x=3时，有321223kk，去分母得：9k﹣4k+2=12，5k=10，解得：k=2，故答案为：2．17．（山东省东营市2019届九年级第二次模拟检测数学试题）若关于x的方程322133xmxxx．无解，则m的值是__________．【答案】1或53【解析】去分母得：3−2x+mx–2=3–x，∴–x+mx=2，∴（m–1）x=2，当m–1=0时，此时方程无解，符合题意，此时m=1，当m–1≠0时，由于方程无解，即x−3=0，x=3，将x=3代入x=21m，解得：m=53，故答案为：1或53．三、解答题18．（山东省济南历下区2019届九年级第三次模拟考试数学试题）先化简：22144(1)1mmmmm，再从﹣1≤m≤2中选取合适的整数代入求值．【解析】原式=21-212mmmmm=2mm，根据分式有意义的条件可知：m=﹣1，∴原式=13．19．（山东省淄博市淄川区2019届九年级中考数学一模试题）先化简，再求值：2221()211aaaaaa，其中a是方程x2+x=1的解．【解析】2221()211aaaaaa，=2(1)21(1)(1)aaaaaaa=2(1)(1)(1)1aaaaaa=21aa-，∵a是方程x2+x=1的解，∴a2+a=1，∴a2=1﹣a，∴原式=11aa=﹣1．20．（2019年黑龙江省哈尔滨六中中考数学三模试卷）先化简，再求代数式﹣2112441xxxxxx的值，其中x=2sin45°+tan45°．【解析】原式=﹣12x×2(2)1xx+1xx=﹣21xx+1xx=21xxx=21x，当x=2sin45°+tan45°=2×22+1=2+1时，原式=1221=﹣2．21．（2019•南京）解方程：23111xxx．【答案】x=2【解析】方程两边都乘以（x+1）（x–1），去分母得x（x+1）–（x2–1）=3，即x2+x–x2+1=3，解得x=2．检验：当x=2时，（x+1）（x–1）=（2+1）（2–1）=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．22．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x–2）米，由题意，得2x+（x+x–2）=26，解得x=7，所以乙工程队每天掘进5米，1462675=10（天）．答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．23．（2019年江苏省盐城市大丰市初中第四共同体中考数学模拟试卷）某公司在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，形成下列三种施工方案：①甲队单独完成此项工程刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工；如果工程不能按预定时间完工，公司每